学年高中数学人教A版选修22学案第一章 12 第二课时 导数的运算法则 Word版含答案Word文档格式.docx

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②可分解为y＝f（u）与u＝g（x），其中u称为中间变量．

（2）求导法则：

复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为：

yx′＝yu′·

ux′.

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）f′（x）＝2x，则f（x）＝x2.（　　）

（2）函数f（x）＝xex的导数是f′（x）＝ex（x＋1）．（　　）

（3）函数f（x）＝sin（－x）的导数为f′（x）＝cosx．（　　）

答案：

（1）×

（2）√　（3）×

2．函数y＝sinx·

cosx的导数是（　　）

A．y′＝cos2x＋sin2x　　B．y′＝cos2x

C．y′＝2cosx·

sinxD．y′＝cosx·

sinx

B

3．函数y＝xcosx－sinx的导数为________．

－xsinx

4．若f（x）＝（2x＋a）2，且f′

（2）＝20，则a＝________.

1

利用导数四则运算法则求导

[典例]　求下列函数的导数：

（1）y＝x2＋log3x；

（2）y＝x3·

ex；

（3）y＝.

[解]　

（1）y′＝（x2＋log3x）′＝（x2）′＋（log3x）′

＝2x＋.

（2）y′＝（x3·

ex）′＝（x3）′·

ex＋x3·

（ex）′

＝3x2·

ex＝ex（x3＋3x2）．

（3）y′＝′＝

＝＝－.

求函数的导数的策略

（1）先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．

（2）对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．　　　　　　

[活学活用]

求下列函数的导数：

（1）y＝sinx－2x2；

（2）y＝cosx·

lnx；

解：

（1）y′＝（sinx－2x2）′＝（sinx）′－（2x2）′＝cosx－4x.

（2）y′＝（cosx·

lnx）′＝（cosx）′·

lnx＋cosx·

（lnx）′

＝－sinx·

lnx＋.

＝＝

复合函数的导数运算

（1）y＝；

（2）y＝esin（ax＋b）；

（3）y＝sin2；

（4）y＝5log2（2x＋1）．

[解]　

（1）设y＝u－，u＝1－2x2，

则y′＝（u－）′（1－2x2）′＝·

（－4x）

＝－（1－2x2）－（－4x）＝2x（1－2x2）－.

（2）设y＝eu，u＝sinv，v＝ax＋b，

则yx′＝yu′·

uv′·

vx′＝eu·

cosv·

a

＝acos（ax＋b）·

esin（ax＋b）．

（3）设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋，

vx′＝2u·

2

＝4sinvcosv＝2sin2v＝2sin.

（4）设y＝5log2u，u＝2x＋1，

则y′＝5（log2u）′·

（2x＋1）′

＝＝.

1．求复合函数的导数的步骤

2．求复合函数的导数的注意点

（1）内、外层函数通常为基本初等函数．

（2）求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．　　　　　　

求下列函数的导数：

（1）y＝（3x－2）2；

（2）y＝ln（6x＋4）；

（3）y＝e2x＋1；

　（4）y＝；

（5）y＝sin；

（6）y＝cos2x.

（1）y′＝2（3x－2）·

（3x－2）′＝18x－12；

（2）y′＝·

（6x＋4）′＝；

（3）y′＝e2x＋1·

（2x＋1）′＝2e2x＋1；

（4）y′＝·

（2x－1）′＝.

（5）y′＝cos·

′＝3cos.

（6）y′＝2cosx·

（cosx）′＝－2cosx·

sinx＝－sin2x.

与切线有关的综合问题

[典例]　

（1）函数y＝2cos2x在x＝处的切线斜率为________．

（2）已知函数f（x）＝ax2＋lnx的导数为f′（x），

①求f

（1）＋f′

（1）．

②若曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．

[解析]　

（1）由函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，得y′＝（1＋cos2x）′＝－2sin2x，所以函数在x＝处的切线斜率为－2sin＝－1.

－1

（2）解：

①由题意，函数的定义域为（0，＋∞），

由f（x）＝ax2＋lnx，得f′（x）＝2ax＋，

所以f

（1）＋f′

（1）＝3a＋1.

②因为曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈（0，＋∞）内导函数f′（x）＝2ax＋存在零点，

即f′（x）＝0⇒2ax＋＝0有正实数解，

即2ax2＝－1有正实数解，故有a<

0，所以实数a的取值范围是（－∞，0）．

关于函数导数的应用及其解决方法

（1）应用：

导数应用主要有：

求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．

（2）方法：

先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．　　　　　　

若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a的值为（　　）

A．－1或－　　　　　B．－1或

C．－或－D．－或7

解析：

选A　设过点（1,0）的直线与曲线y＝x3相切于点（x0，x），

则切线方程为y－x＝3x（x－x0），即y＝3xx－2x.

又点（1,0）在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.

当x0＝0时，直线方程为y＝0.

由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－.

当x0＝时，直线方程为y＝x－.

由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.

层级一　学业水平达标

1．已知函数f（x）＝ax2＋c，且f′

（1）＝2，则a的值为（　　）

A．1　　　　　　　　　　　B.

C．－1D．0

选A　∵f（x）＝ax2＋c，∴f′（x）＝2ax，

又∵f′

（1）＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.

2．函数y＝（x＋1）2（x－1）在x＝1处的导数等于（　　）

A．1B．2

C．3D．4

选D　y′＝[（x＋1）2]′（x－1）＋（x＋1）2（x－1）′＝2（x＋1）·

（x－1）＋（x＋1）2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.

3．曲线f（x）＝xlnx在点x＝1处的切线方程为（　　）

A．y＝2x＋2B．y＝2x－2

C．y＝x－1D．y＝x＋1

选C　∵f′（x）＝lnx＋1，∴f′

（1）＝1，又f

（1）＝0，∴在点x＝1处曲线f（x）的切线方程为y＝x－1.

4.已知物体的运动方程为s＝t2＋（t是时间，s是位移），则物体在时刻t＝2时的速度为（　　）

A.B.

C.D.

选D　∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.

5．设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（　　）

A．0B．1

C．2D．3

选D　y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.

6．曲线y＝x3－x＋3在点（1,3）处的切线方程为________．

∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×

12－1＝2.

∴切线方程为y－3＝2（x－1），即2x－y＋1＝0.

2x－y＋1＝0

7．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.

由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.

8．已知函数f（x）＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．

∵f′（x）＝－f′sinx＋cosx，

∴f′＝－f′×

＋，

得f′＝－1.

∴f（x）＝（－1）cosx＋sinx.

∴f＝1.

9．求下列函数的导数：

（1）y＝xsin2x；

（2）y＝；

（3）y＝；

（4）y＝cosx·

sin3x.

（1）y′＝（x）′sin2x＋x（sin2x）′

＝sin2x＋x·

2sinx·

（sinx）′＝sin2x＋xsin2x.

（2）y′＝

＝.

（3）y′＝

＝

（4）y′＝（cosx·

sin3x）′

＝（cosx）′sin3x＋cosx（sin3x）′

＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x

＝3cosxcos3x－sinxsin3x.

10．偶函数f（x）＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P（0,1），且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f（x）的解析式．

∵f（x）的图象过点P（0,1），∴e＝1.

又∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x）．

故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.

∴b＝0，d＝0.∴f（x）＝ax4＋cx2＋1.

∵函数f（x）在x＝1处的切线方程为y＝x－2，

∴切点为（1，－1）．∴a＋c＋1＝－1.

∵f′（x）|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.

∴a＝，c＝－.

∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x4－x2＋1.

层级二　应试能力达标

1．若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f′

（1）＝2，则f′（－1）等于（　　）

A．－1　　　　　　　　　B．－2

C．2D．0

选B　∵f′（x）＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′（－1）＝－f′

（1）＝－2.

2．曲线y＝xex－1在点（1,1）处切线的斜率等于（　　）

A．2eB．e

C．2D．1

选C　函数的导数为f′（x）＝ex－1＋xex－1＝（1＋x）ex－1，

当x＝1时，f′

（1）＝2，即曲线y＝xex－1在点（1,1）处切线的斜率k＝f′

（1）＝2，故选C.

3．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）＋lnx，则f′（e）＝（　　）

A．e－1B．－1

C．－e－1D．－e

选C　∵f（x）＝2xf′（e）＋lnx，

∴f′（x）＝2f′（e）＋，

∴f′（e）＝2f′（e）＋，解得f′（e）＝－，故选C.

4．若f（x）＝x2－2x－4lnx，则f′（