万能数学公式Word下载.docx
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csc
--cscxC
22
x—a
In
-x
adx
22a-x
Ina
2a
=arcsin
shxdx
chxdx
=chx
=shx
x2_a2
In（x亠.x二a2）亠C
7T
I-■n
n二sin
xd:
x=cos
n
xdx
■.x2a2
x2
二.x
-a2
.x2-a2
，x2
—a
1a2-x2
二・a
-x
n-1
—In_2
a22
In（x•；
x■a）■C
2a
/22
x+
vx-a
+c
a
x,
+—
arcsin
-+c
a
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
2u1-ux2du
sinx=,cosx=2,u=tg—,dx=
1u1u21u
一些初等函数：
两个重要极限:
xx
e••e
双曲正弦
:
shx
lim1
x7x
ee…
1x
双曲余弦
chx
lim
（1）=e=2.718281828459045
2X匚X
.X」
shxe-e双曲正切:
thx:
x_x
chxee-
arshx=ln（x厂冷x?
-1）
~2
archx=ln（x…rx-1）
11+x
arthx=—In
21-x
三角函数公式:
•诱导公式：
\函
\数
s
c
t
\
in
os
g
tg
a\
-a
-
sina
osa
tga
ctga
90°
ina
ga
+a
180
o
cosa
°
270
O
360
sin（x二I-'
）:
cos（:
乂二I'
）
tg（、：
•二I'
）二
ctg（:
；
二I'
•倍角公式:
sin2一=2sin：
cos:
2222
cos2：
=2cos—1=1-2sincos二一sin
3
sin3:
=3sin：
-4sin:
ctgot-1
cos3:
=4cos3cos:
ctg2:
2ctga
3tga-tga
tg3:
2tga
tg2—
1—tga
1-3tga
-半角公式:
反三角函数性质：
ji
arcsinx=arccosx
Ji
arctgx=—-arcctgx
高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：
z、（n）寸八（n_Jk）（k）
（uv）CnUv
k=0
（n）5丄）门⑴一1）2）...n（n-1）（n—k1）2）g...⑴
=uvnuvuvuvuv
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）-f（a）=f「）（b-a）
f（b）-f（a）f（）
柯西中值定理：
-
F（b）-F（a）FV）
当f（x）=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率:
弧微分公式：
平均曲率：
K
ds=1ydx,其中y=tg:
从M点到M点，切线斜率的倾角变
化量；
.-；
s：
MM弧长。
M点的曲率:
Aaday
直线：
K=0;
半径为a的圆：
K.
定积分的近似计算:
b-a
（yo•yi亠亠yn」）
梯形法:
b
f（x）
b—a1
[（yo■yn）■yi"
"
n2
-yna]
抛物线法：
b_a
f（X）”[（y°
•yn）•2（y2•y4…•yn2）•4（y’•y3…•yn」）]
a3n
定积分应用相关公式:
功：
W
二Fs
水压力：
F=pA
引力：
F=km；
2,k为引力系数r
函数的平均值：
yf（x）dx
均方根：
b"
3a
|b
■'
f2（t）dt
.b-aa
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离：
d=M!
M
222
=Y'
（X2-Xi）（y2-yj（Z2-乙）
向量在轴上的投影：
PrjuAB=
ABcos®
®
是AB与u轴的夹角。
是一个数量
Prju佝亠a?
）=Prja1Prja?
ab=|abcos日=axbx+ayby+azb
两向量之间的夹角:
cos71=
axbxaybyazbz
2222xayaz,bx
bybz
ax
ay
az
bsin日.例:
线速度:
bx
by
bz
向量的混合积:
[abc]=（ab）c=
=axb‘ccosa,a为锐角时，
Cx
Cy
Cz
代表平行六面体的体积
平面的方程:
Ax°
By。
Cz°
D
x=x0…mt
二次曲面:
1、椭球面:
2、抛物面:
£
b2
y
2q
z
.于1
=z,（p,q同号）
3、双曲面:
222
单叶双曲面:
xyz
222
abc
双叶双曲面:
J==1（马鞍面）
多元函数微分法及应用
全微分：
d^=—d^—dy
ex
.:
u和
dudxdydz
全微分的近似计算:
「：
z：
•dz二fx（x,y）=xfy（x,y）=y
多元复合函数的求导法
f[u（t）,v（t）]
dz
ujz；
v
+*
f[u（x,y）,v（x,y）]
dt
u
;
jz
x；
vjx
二u（x,y），v二v（x,y）时,
u；
dxdy；
x:
y
隐函数的求导公式：
du
dv
隐函数F（x,y）=0，
dy
Fx
Fy
d2y
dx2
—J
）+
匕）
隐函数F（x,y,z）=0,
Fz
隐函数方程组:
cF
dF
F（x,y,u,v）=0
c（F,G）
cu
cv=
FuFv
Q（x,y,u,v）=0
c（u,v）
cG
cQ
QuQv
cv
jx
汀Fz
-y
：
（F,Q）
（F,Q）
J
（x,v）
_=x
（u,x）
r（y,v）
（u,y）
微分法在几何上的应用:
x=cp（t）
空间曲线yW（t）在点M（Xo,y0,z0）处的切线方程:
z=（t）
X-X。
y-y。
Z—Zo
「（t。
）：
一（t。
）（to）
在点M处的法平面方程：
x-x。
）宀（t°
）（y-y。
），（t°
）（z-z。
）=。
若空间曲线方程为:
F（x,y,z）=。
卄亠曰
，则切向量
j
I
G（x,y,z）=。
Gy
Gz
Gx
曲面F（x,y,z）=。
上一点M&
。
』。
忆。
），则:
1、过此点的法向量：
n二｛Fx（x。
，y°
z。
），Fy（x。
，y。
，z。
），Fz（x。
）｝
2、过此点的切平面方程
Fx（Xo,yo,Zo）（x—x。
）Fy（x。
Zo）（y—y。
）Fz（x。
Zo）（z—z。
）=0
3、过此点的法线方程:
x-x。
_y-y。
Fx（x。
z-z。
（X。
方向导数与梯度:
函数z=f（x,y）在一点
p（x,y）沿任一方向I的方向导数为:
f；
f
cossin:
l.x:
其中：
为x轴到方向I的转角。
函数z二f（x,y）在一点
fp（x,y）的梯度：
gradf（x,y）i
iT
cy
它与
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