数值分析计算方法超总结Word文档下载推荐.docx
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儿i°
）R7
如果取y0=V2«
1.41=y；
（三位有效数字）作近似计算，问计算到比0时误差为初始误差的多少倍？
这个计算过程数值稳定吗？
2.插值问题:
1）设函数/（兀）在五个互异节点x15x2,x3,x4,x5上对应的函数值为
人寸2,仏，fs了5,根据定理，必存在唯一的次数（A）的插值多项式
P（X）,满足插值条件（B）.对此，为了构造Lagrange插值多项式L（x）,由5个节点作（C）个、次数均为（D）次的插值基函数/,（X）二_（E）,从而得Lagrange插值多项式L（X）=（F）,而插值
余项R（x）=/（x）-L（x）=（G）
2）试用三种方法求过三个离散点：
A（0,1）、B（1,2）、C（2,3）的插值多项式。
3）求函数/（兀）=£
一*在［0,1］上的近似一次插值多项式。
4）由函数值表：
X:
123
e~x:
0.367879441,0.135335283,0.049787068
求e~2A的近似值.
nnx_j
5）利用插值方法推导Ztn
i=Q戶0J知1-J
3.拟合问题：
1）对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是和（B）•
2）对同一个量的多个近似值，常取其算术平均作为该量的近似值，这种做法的
意义是什么？
3）设有实验数据如下：
X1.361.731.952.28
f14.09416.84418.47520.963
按最小二乘法求其拟合曲线。
4）已知某试验过程中函数/依赖于兀的试验数据如下：
34
1.82.0
S=ax+bx2的经验公式。
小：
12
:
0.81.5
试按最小二乘法拟合出一个形如
5）设有实验数据如下：
10
18
26
按最小二乘法拟合出一个形如S=a+bx2
的经验公式。
4.数值求积:
1）写出数值求积公式的一般形式，指出其特点，并说明它对计算机的计算有什么意义？
2）简述数值求积公式的”代数精度”的概念
bn
3）插值型求积公式［f（x）dx^yAkf（xk）中，每个系数可用公式儿二
"
k=Q
n
（A）计算，它们之和为人二（B）,其代数精度（C）.
k=0
又Newton-Cotes公式的一般形式为（D）,其主要特点是（E）,
其
Cotes系数之和屮=（F）,其代数精度（G）;
k=Q
4）考察数值求积公式ff（x）dxuA_J（-1）+4/（0）+4/
（1）,
J—1
直接指出：
它是什么类型的公式？
为使其精度尽可能高，A-,A。
，A】应取什
么确值？
它是不是Gauss型公式？
1
1+X3
d兀的近似值，试写出使用11个等分点函数值的求积
公式（要求只列出数值公式，不需要求出具体结果）。
2
6）利用复化Simpson公式求积分I=［長dx的近似值（只需列出算式）°
7）利用现成函数表，分别用复化梯形公式T”和复化Simpson公式S“计算积分
V
^4-sin2（p
龙/36
1.9981001
2龙/36
1.9924473
3刃36
1.9831825
4龙/36
1.9705386
5龙/36
1.9548386
6刃36
1.9364917
5.解线性代数方程组的宜接法:
1）Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪儿项？
A.提高计算速度；
B.提高计算精度：
C.简化计算公式;
D.提高计算公式的数值稳定性：
E.节省存储空间。
2）采用“列主元Gauss消去法”解下列方程组：
_235'
5
347
兀2
=
6
133
一勺一
a）用”列主元Gauss消去过程”将方程组约化成上三角方程组;
b）用”回代过程”依次列式计算出方程组的解。
3）设方程组
■-326_
'
4
10-70
二
7
_5-15
现采用“列主元Gauss消去法”求解，试回答：
a）所用列主元Gauss消去法包括哪两个过程？
b）要用儿步消元？
c）每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）？
d）现经第1步消元结果，上述方程组己被约化为
_10-7
0~
・7_
_%0
%
_%
_兀3_
请你继续做消元计算，直至约化成上三角方程组。
e）对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。
6.解线性代数方程组的迭代法：
1）解线性代数方程组x=Bx+f的基本型迭代公式
x{k+i）=Bx{k）+f,k=0丄…
其中B称为什么？
兀⑼又称为什么？
如果迭代序列{#"
〉}有极限T（即迭
代公式收敛），则极限
是什么？
2）设解线性代数方程组Ax=b（其中AeRnxn非奇异，/?
工0）
的迭代公式为x（k+i）=兀⑹一A（Ax（k）-b）,k=0丄
则其迭代矩阵是什么？
此迭代公式对任意的初始向量x®
收敛的充分必要条件是什么？
又此迭代公式对任意的初始向量x（0）收敛的一个充分条件是什么？
3）设线性方程组
试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式：
试问所作的两种
迭代公式是否收敛，为什么？
试用初值兀⑼=（0,0）T计算GS迭代公式
的前三个值.
4）设方程组
1-5］「兀1
~-4~
9-1
一兀2.
_8_
试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式，并说明两者收敛的根据；
求出这两种迭代的迭代矩阵.
5）设线性方程组
1—0.5a
Ax=b,A=-0.52-0.5,x,beR3
-a一0.51
请按便于计算的收敛充分条件，求使J法和GS法均收敛的CI的取值范围.
7.一元方程求根：
1）写出求方程f（x）=x3-3x-l=0在［1,2］中的近似根的一个收敛的不动点迭代公式，并证明其收敛性。
2）己知方程x-lnx=2（X>
1）的有根区间［3,4］.试
写出求该方程在［3,4］中的根的一个不动点迭代公式；
证明所给出的迭代公式是收敛的。
试设计其计算机算法.
3）用Newton迭代法求方程/（X）=—3兀一1=0在XQ=2附近的根,
试写其Newton迭代公式；
并说明其收敛情况。
4）试写出求的Newton迭代公式，并说明其收敛情况。
8.常微分方程初值问题：
1）常微分方程定解问题分为初值问题和亠2_问题.初值问题是指由（B）和
yr=-xy2-y,0<
x<
0.6
（C）两部分联立起來构成的问题。
研究常微分方程初值问题时，通常针对基本形式（D）进行研究。
设函数yO）是某初值问题的解析解，则该初值问题在X”处的解为（E）而数值解（通常记）为（F），它们的关系是（G）.若记『（£
+1）是初值问题在点兀+i处的解，儿+i是由某数值方法得出的X”+l处的数值解，则该数值方法在X,J+1处的局部截断误差是指（H）•
2）设初值问题V
y（0）=1
试用Euler方法取A=0.2,求解上述初值问题的数值解。
yr=8-3y.1<
2
3
y（l）=2
）设初值问题{
试用梯形方法求其解在两点兀=1.2,1.4处的值y（1.2）,y（1.4）的
近似值。
y（o）=i
试用改进的Euler方法，并取A=0.1,设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案（或称计算机算法描述；
不必求出解的具体数值）。
设初值问题
V=3y/（l+x）,0<
x<
l7（°
）=1
试用4阶经典R-K方法，并取A=0.1,设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案（或称计算机算法描述；
九、下列各小題任选其中已学过的小题作练习：
Q设兀=（0,2,3）『,求，|赵,||刘2‘||"
L；
设4=12，求||A
3411
0（A）。
2）用较简捷的方法分别求下列的插值多项式H（x）和p（x）,并写出其余项公式:
a）H（—l）=—1,H（0）=H'
（0）=0,H（l）=1
b）p（0）=l,p（l）=p'
（l）=0,p
（2）=2
3）用插值方法求在兀=0处与cosx相切，在x=tt/2处与COSX相交的二次
多项式p2（X）,并推导插值余项的估计式为
|cosx-p2（x）|<
-x2|x-^|
OZ
4）试用最小二乘法原理求下列超定方程组的近似解：
2xj+4x2=11
3兀]-5x2=3
<
一
%!
+2x2=6
2无+七=7
5）要计算函数y（x）=[e~rdt在x=o.2,o.4,0.6三处的近似值，
JO
试用解初值问题的数值方法，设计其计算方案（要求采用二阶精度的计算公式）.
6）用追赶法解三对角方程组:
21
131
111
勺
21_
34_
7）对方程组心，心血
2,&
=1拟用迭代法
12
兀（Z=卅）+0（处⑹_b）,k=GX
求解，试确定a的取值范围，使得上述迭代公式收敛.
8）对迭代函数0（兀）=兀+无（疋一5）,试求使迭代公式
Xk+1=0（XA）>
*=0,1厂，
局部收敛于X*=V5的；
I的取值范围。
9）试给出求-J=,C>
0的Newton迭代公式，使得迭代公式没有开方和
除法运算.
10）由迭代公式心利=丄+主，比=0,1,…，产生的序列｛耳｝对任何
耳2
初值X。
均二阶收敛于什么？
解释其原理。
11）写出求方程X2-2X+1=O的Newton迭代公式，并指出其收敛阶
（数）。
（可以有两种答案）
12）若用Euler公式（yH=y”+〃f（x”，ya））解初值问题
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