离散数学课本习题文档格式.docx

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d）∅∈{∅}

e）{a,b}⊆{a,b,c,{a,b,c}}

f）{a,b}∈{a,b,c,{a,b,c}}

g）{a,b}⊆{a,b,{a,b}}

h）{a,b}∈{a,b,{a,b}}

6、设A、B和C为集合。

证明或用反例推翻以下的各个命题：

a）假如A∉B且B∉C，如此A∉C。

b）假如A∈B且B∉C，如此A∉C。

c）假如A⊆B且B∉C，如此A∉C。

d）假如A∈B且B∈C，如此A∈C。

7、假如A、B为集合，如此A⊆B与A∈B能同时成立吗？

请证明你的结论。

8、列举出如下集合中每个集合的所有子集：

a）{1，2，3}

b）{1，{2，3}}

c）{{1，{2，3}}}

d）{∅}

e）{∅,{∅}}

f）{{1，2}，{2，1，1}，{2，1，1，2}}

g）{{∅，2}，{2}}

9、给出如下集合的幂集：

a）{a，{b}}

b）{1，∅}

c）{x,y,z}

d）{∅，a,{a}}

e）℘（{∅}）

10、设℘（A）=℘（B）。

证明A=B。

1.设U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,2,5},C={2,4}。

试求如下集合：

a）A⋂~B；

b）（A⋂B）⋃~C；

c）~（A⋂B）；

d）~A⋃~B；

e）（A–B）–C；

f）A–（B–C）；

g）（A⊕B）⊕C；

h）（A⊕B）⊕（B⊕C）

2.设A={n|n∈I+且n<

12},B={n|n∈I+且n≤8},C={2n|n∈I+},D={3n|n∈I+}且E={2n-1|n∈I+}试用A，B，C，D和E表达如下集合：

a）{2，4，6，8}；

b）{3，6，9}；

c）{10}；

d）{n|n为偶数且n>

10}；

e）{n|n为正偶数且n≤10，或n为奇数且n≥9}。

3.证明：

a）如果A⊆B且C⊆D，如此A⋃C⊆B⋃D且A⋂C⊆B⋂D；

b）A⋂（B-A）=∅;

c）A⋃（B-A）=A⋃B;

d）A–（B⋃C）=（A–B）⋂（A–C）；

e）A–（B⋂C）=（A–B）⋃（A–C）；

f）A–（A–B）=A⋂B；

g）A-（B-C）=（A-B）⋃（A⋂C）。

4.证明

a）A=B当且仅当A⊕B=∅；

b）A⊕B=B⊕A；

c）（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）；

d）A⋂（B⊕C）=（A⋂B）⊕（A⋂C）；

e）（B⊕C）⋂A=（B⋂A）⊕（C⋂A）。

5.判断一下结论是否成立，如果或成立，就给予证明，如果不成立，就用文氏图加以说明。

a）假如A⋂C⊆B⋂C且A⋂~C⊆B⋂~C，如此A⊆B；

b）假如A⋂B=A⋂C且~A⋂B=~A⋂C，如此B=C；

c）假如A⋃B=A⋃C，如此B=C;

d）假如A⋂B=A⋂C，如此B=C;

e）A⊕B=A⊕C，如此B=C;

f）假如A⊆B⋃C，如此A⊆B或A⊆C；

g）假如B⋂C⊆A，如此B⊆A或C⊆A。

6.给出如下各式成立的充分必要条件，并加以证明。

a）（A-B）⋃（A-C）=A;

b）（A-B）⋃（A-C）=∅;

c）（A-B）⋂（A-C）=A;

d）（A-B）⋂（A-C）=A;

e）（A-B）⊕（A-C）=A;

f）（A-B）⊕（A-C）=∅;

g）A⋂B=A⋃B;

h）A-B=B;

i）A-B=B-A;

j）A⊕B=A；

k）℘（A）⋃℘（B）=℘（A⋃B）;

7.设A，B为任意两个集合，证明：

a）℘（A）⋃℘（B）⊆℘（A⋃B）;

b）℘（A）⋂℘（B）=℘（A⋂B）。

8.试求出⋃℘和⋂℘，其中℘为：

a）{{∅}}；

b）{∅，{∅}}；

c）{{a},{b},{a,b}}。

9.设且，且，。

证明

10.设且，，试求和

11.设且。

试求和。

12.设，，我们称和分别为集合序列的上极限和下极限，证明：

a）为由一切属于无限多个的元素组成的集合；

b）为由一切属于“几乎所有〞的的元素组成的集合。

习题1.3

1、用归纳法证明：

a）；

b）2+22+23+…+2n=2n+1-2；

c）2n=2n；

d）3|n3+2n;

e）1·

2·

3+2·

3·

4+…+n（n+1）（n+2）=

f）任意三个相邻整数的立方和能被9整除；

g）11n+2+122n+1是133的倍数；

h）假如n∈I+如此。

2、设a0，a1，a2，…为由自然数组成的严格单调递增序列。

证明：

假如n∈N，如此n≤an。

3、斐波那契（Fibonacci）数列定义为

F0=0

F1=1

Fn+1=Fn+Fn-1，n∈I+

假如n∈I+，如此。

4、设n,m∈I+且n＞m。

假定有n个直立的大头针，甲、乙两人轮流把这些直立的大头针扳倒。

规定每人每次可扳倒1至根，且扳倒最后一根直立的大头针者为获胜者。

试证明：

如果甲先扳且（m+n）不能整除n，如此甲总能获胜。

5、证明以下的二重归纳原理的正确性：

设i0,j0∈N。

假定对任意自然数i≥i0与j≥j0，皆有一个命题P（i,j）满足：

i）P（i0,j0）真；

ii）对任意自然数k≥i0与l≥j0，假如P（k,l）真，如此P（k+1,l）和P（k,l+1）皆真。

如此对任意自然数i≥i0与j≥j0，P（i,j）皆真。

6、证明：

假如n∈N，如此n∉n。

7、证明：

假如n,m∈N，如此n⊂m当且仅当n∈m。

8、证明：

假如n,m∈N，如此n∈m当且仅当n+∈m+。

9、证明：

假如n,m∈N，如此n＜m当且仅当有x∈N使m=n+x+。

10、证明：

假如n∈N，如此不可能有m∈N使n＜m＜n+。

习题

1、设A={0,1}，B={1,2}。

试确定如下集合：

a）A×

{1}×

B

b）A2×

c）（B×

A）2

2、证明或用反例推翻如下命题：

a）（A∪B）×

（C∪D）=（A×

C）∪（B×

D）

b）（A∩B）×

（C∩D）=（A×

C）∩（B×

c）（A－B）×

（C－D）=（A×

C）－（B×

d）（A⊕B）×

（C⊕D）=（A×

C）（B×

3、如果B∪C⊆A，如此（A×

B）－（C×

D）=（A－C）×

（B－D）。

这个命题对吗？

如果对，如此给予证明；

如果不对，如此举出反例。

f）4、证明：

假如x∈C且y∈C，如此<

x,y>

∈℘（℘（C））。

5、证明：

a∈∪<

a,b>

且b∈∪<

。

6、把三元偶<

a,b,c>

定义为{{a},{a,b},{a,b,c}}适宜吗？

说明理由。

7、为了给出序偶的另一定义，选取两个不同集合A和B（例如取A=∅，B={∅}），并定义<

={{a,A},{b,B}}。

证明这个定义的合理性。

第二章二元关系

习题2.1

1、列出从A到B的关系R中的所有序偶。

a）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={<

|x,y∈A∩B}

b）A={1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，R={<

|x∈A,y∈B且x=y2}

2、设R1和R2都是从{1,2,3,4}到{2,3,4}的二元关系，并且

R1={<

1,2>

<

2,4>

3,3>

}

R2={<

1,3>

4,2>

求R1∪R2,R1∩R2,domR1,domR2,ranR1,ranR2,dom（R1∪R2）和ran（R1∪R2）。

3、设和都是从集合到集合的二元关系。

dom（R1∪R2）=domR1∪domR2

ran（R1∩R2）⊆ranR1∩ranR2

4、用L和D分别表示集合{1,2,3,6}上的普通的小于关系和整除关系，试列出L,D和L∩D中的所有序偶。

5、给出满足如下要求的二元关系的实例：

a）既是自反的，又是反自反的；

b）既不是自反的，又不是反自反的；

c）既是对称的，又是反对称的；

d）既不是对称的，又不是反对称的。

6、试判断下面的论断正确与否。

假如正确，请加以证明；

假如不正确，请给出反例。

设R和S都是集合A上的二元关系。

假如R和S都是自反的（反自反的，对称的，反对称的，或传递的），如此R∩S，R∪S，R－S，R⊕S也是自反的（反自反的，对称的，反对称的，或传递的）。

7、描述R上的如下二元关系S的性质：

a）S={<

|x,y∈R且x·

y＞0}；

b）S={<

|x,y∈R，4整除|x－y|且|x－y|＜10}；

c）S={<

|x,y∈R，x2=1且y＞0}；

d）S={<

|x,y∈R，4|x|≤1且|y|≥1}。

8、设n,m∈I+。

假如集合A恰有n个元素，如此在A上能有多少个不同的m元关系？

证明你的结论。

9、设ξ和ζ都是由从集合A到集合B的二元关系构成的集类，并且ζ∅。

a）dom（∪ξ）=∪{domR|R∈ξ}；

b）ran（∪ξ）=∪{ranR|R∈ξ}；

c）dom（∩ζ）⊆∩{domR|R∈ζ}；

d）ran（∩ζ）⊆∩{ranR|R∈ζ}；

10、设R为集合上的一个二元关系。

如果R是反自反的和传递的，如此R一定是反对称的。

11、设R为集合上的一个二元关系，假如令fldR=domR∪ranR如此fldR=∪（∪R）。

12、假如R为集合上的一个二元关系，如此也是∪（∪R）上的二元关系。

1.设集合A={1,2,3,4,5,6}上的二元关系R为

R={<

1,1>

2,2>

3,3>

4,4>

5,5>

6,6>

1,2>

2,1>

1,3>

3,1>

2,3>

3,2>

4,5>

5,4>

}

试画出R的关系图GR，求出R的关系矩阵MR,并指出R所具有的性质。

2.对图给出的集合A={1,2,3}上的十二个二元关系的关系图，写出相应的关系矩阵，并指出各个关系所具有的性质。

3.对习题2.1种第4题所给的二元关系L,D和L⋂D，画出它们的关系图，并写出它们的关系矩阵。

4.设A为恰有n个元素的有限集。

a）共有多少个A上的不一样的自反关系？

a）共有多少个A上的不一样的反自反关系？

b）共有多少个A上的不一样的对称关系？

c）共有多少个A上的不一样的反对称关系？

d）共有多少个A上的不一样的既是对称又反对称的关系？

1.设R为非空有限集A上的二元关系。

如果R是反对称的，如此R⋂R-1的关系矩阵MR⋂R-1中最多能有多少个元素为