博弈论作业标准答案Word文档格式.docx
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同理求出:
解得:
所以,混合策略纳什均衡为:
学生A、B均以的概率选择企业1,企业2。
2、该模型的纳什均衡是什么?
当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效?
各厂商的利润函数为:
求解:
对其求导,令导数为0,解得反应函数为:
纳什均衡,必是n条反应函数的交点
.....
......
得到:
且为唯一的纳什均衡。
当趋向于无穷大时博弈分析无效。
,此时为完全竞争市场,此时博弈分析无效。
3、问这两个厂商的边际成本各是多少?
各自的利润是多少?
设:
边际成本不变,为,。
计算得市场出清价格为:
两个厂商的利润函数为:
求解:
对其求导,令导数为0,解得反应函数为:
纳什均衡,即(20,30)为两条反应函数的交点
得到:
,。
此时:
。
4、若所有居民同时决定养鸭的数量,问该博弈的纳什均衡是什么?
设居民选择的养鸭数目为,则总数为。
假设:
居民的得益函数为:
计算:
得到反应函数:
5条反应函数的交点是博弈的纳什均衡。
将带入反应函数,得:
。
此时:
此时,
然后讨论下
①若,则,上述博弈成立。
②若,则
5、问:
这三个博弈的纳什均衡分别是什么?
这三对夫妻的感情状态究竟如何?
矩阵1:
妻子
丈夫
活着
死了
1,1
-1,0
0,-1
0,0
矩阵2:
0,0
1,0
0,1
矩阵3:
-1,-1
0,1
用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为:
矩阵1:
(活着,活着)(死了,死了)
可以看出这对夫妻间感情十分深厚。
这对夫妻同生共死,一个死了,则另一个也选择死去。
如果一个死了,一个活着,那么活着的将生不如死。
矩阵2:
(活着,活着)(活着,死了)(死了,活着)
可以看出这对夫妻间感情一般。
这对夫妻共同活着没有收益,一个死了,对于另一个来说反而更好。
矩阵3:
(活着,死了) (死了,活着)
可以看出这对夫妻间感情很槽糕。
这对夫妻共同活着对双方来说是生不如死。
一个死了,对于另一个来说反而更好。
6、
(1)如果,,试求此博弈的Nash均衡(即两个个体选择的最优努力程度)。
(2)如果,,试求此博弈的Nash均衡。
(1)收益为:
得出反应函数为:
纳什均衡为两条反应函数的交点,代入得出:
两个人都不会努力的
(2)收益为:
分别求偏导:
此时,两个人的努力程度都与对方的努力程度有关
①时,博弈一方越努力,另一方就选择努力程度为0,
此时纳什均衡为(0,0)
②时,双方收益均达到最大值,此时纳什均衡为
③时,博弈一方越努力,另一方选择努力程度为1,
此时纳什均衡为(1,1)
第2次作业
09经济
(2)1沈丽
1,(1)用扩展型表示这一博弈。
(2)这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么?
运用逆向法,由乙先来选择,在两个子博弈中,乙选择红色所示的路径。
再由甲选择,在(高档,低档),(低档,低档)之间选择。
甲选择绿色所示路径。
最终的子博弈完美纳什均衡是(高档,低档),双方的收益为(1000,700)
2、
(1)两个企业同时决策的纯策略纳什均衡;
同时决策时,两个企业都为了各自利润最大化
分别对各自利润求导,并令导数为0
解得:
,
此时,两个企业同时决策的纯策略纳什均衡为企业1,2的价格为
(2)企业1先决策的子博弈完美纳什均衡;
企业1先决策,则企业2会在知道企业1的决策后,寻求自身利润最大化
所以:
将带入
此时,
,跟同时决策时的纳什均衡相同。
企业1先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为
(3)企业2先决策的子博弈完美纳什均衡;
企业2先决策,则企业1会在知道企业2的决策后,寻求自身利润最大化
所以:
将带入
企业2先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为
(4)是否存在参数的特定值或范围,使两个企业都希望自己先决策?
企业在先决策时得到的利润大于后决策时的利润时,会希望先决策
企业1希望先决策:
企业2希望先决策:
,
结论:
3、
(1)企业1没有引入新技术
求两个企业的利润最大化,只要对利润函数求偏导,并另偏导为0
,
(2)企业1引入新技术
求两个企业的利润最大化,只要对利润函数求偏导,并另偏导为0
引入新技术使得企业1的利润不少于没有引入新技术前的利润,所以
得到
时,企业1会选择引进新技术。
4、
(1)企业1的产量,企业2以产量进入市场
企业2后进入市场,则企业2会在知道企业1的决产量后,寻求自身利润最大化
将带入,得
此时,,
(2)企业1的产量,企业2以产量进入市场时利润为0,觉得不进入市场
企业2后进入市场,则企业2会在知道企业1的决产量后,寻求自身利润最大化
,此时,企业2不进入市场。
5、三个企业的利润函数为:
企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量
企业2和3均为了各自利润最大化选择产量,求解出各个的反应函数:
,将反应函数带入企业1的利润函数,得
对其求偏导,求解出企业1利润最大时的产量
得到:
,
第三次作业
09经济2班沈丽 1
1、两个人的得益矩阵如下:
B
A
努力
偷懒
一次博弈纳什均衡为(偷懒,偷懒),无法实现帕累托最优(努力,努力)。
无限次博弈时,对于A,第一阶段选择努力,
(1)若前t-1时刻选择均为努力,t时刻也选择努力
(2)t时刻选择偷懒,则前面的行为均为偷懒
达到(努力,努力)这个均衡,使,即,采取触发策略。
、
均衡为(努力,努力),合作产生。
2、假设:
厂商2在时,产量为,利润为;
厂商2在时,产量为,利润为
对于厂商2来说,分别具有50%的概率得到以下的利润
①
②
对于厂商1来说,利润为
③
求解上面三个式子的一阶导数,并令其为零,得到
该博弈的纯战略贝叶斯均衡为,厂商1的产量为,厂商2在时,产量为;
在时,产量为。
3、考虑到在上呈均匀分布,
对于厂商1,
对于厂商2,
对于厂商1,2的利润函数求一阶导数,并令其为零
该博弈的纯战略贝叶斯均衡为,厂商1,2的产量均为1
4、假设:
此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的成本为
企业1,2的收益矩阵如下图:
2
1
进入
不进入
对于企业1来说
当,企业1选择进入;
当,企业1选择进入
企业1进入的概率为
不进入的概率为
企业2进入的期望收益为
不进入的期望收益为
企业1进入的条件为
所以
因为该博弈是对称的
此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的以概率进入
均衡的成本为
,(中为