三湘教育联盟学年下学期高二期中考试数学试题Word格式.docx
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其中真命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．意大利数学家列昂那多·
斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：
，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为（）
A．672B．673C．1346D．2019
8．已知变量x,y之间的线性回归方程为,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是（）
x
6
8
10
12
y
m
3
2
A．变量x,y之间呈现负相关关系
B．可以预测,当x=20时,y=﹣3.7
C．m=4
D．该回归直线必过点（9,4）
9．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递减D．函数在上的最大值是1
10．已知命题：
“，”，命题：
“关于的方程有正实数解”.若“或”为真命题，“且”为假命题，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
11．已知，，且.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）
12．如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，若某科研小组在坝底点测得，沿着坡面前进40米到达点，测得，则大坝的坡角（）的余弦值为（）
二、填空题
13．已知函数，则_______.
14．已知，是方程的两个实数根，则_______.
15．已知，且，则的最小值为_____________.
16．在平面直角坐标系中，已知圆，，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是________．
三、解答题
17．已知是各项均为正数的等比数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．2021年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等8省市开始实行新高考制度，从2021年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（1）求该班数学成绩在的频率及全班人数；
（2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；
（3）若规定分及其以上为优秀，现从该班分数在分及其以上的试卷中任取份分析学生得分情况，求在抽取的份试卷中至少有份优秀的概率.
19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB＝－bsin.
（1）求A；
（2）若△ABC的面积S＝c2，求sinC的值．
20．如图，在三棱柱中，底面，、、、分别为，、、，的中点，且，，.
（1）证明：
平面；
（2）证明：
；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
21．已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，对于任意，不等式，恒成立？
若存在，请求出的取值范围；
若不存在，请说明理由.
22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围；
（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.
参考答案
1．C
【分析】
先求，再求．
【详解】
由已知得，所以，故选C．
【点睛】
本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．
2．A
首先解一元二次不等式，然后根据充分不必要条件即可判断.
由，则，
可知“”是“”的充分不必要条件，
故选：
A
本题主要考查充分不必要条件的含义，属于基础题.
3．B
【解析】
试题分析：
设等差数列的公差为，由题设知，，所以，
所以，
故选B.
考点：
等差数列通项公式.
4．C
首先根据向量夹角公式求出的值，然后求出，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果.
∵，
∴，，故选C.
本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题.
5．D
根据圆柱的底面半径、球的半径与球心到圆柱底面的距离构成直角三角形求出圆柱的底面半径为，再有体积公式求出圆柱的体积与球的体积即可.
设圆柱的底面半径为，则，
所以圆柱的体积为，
又球的体积为
所以球的体积与圆柱的体积的比
D
本题主要考查几何体的体积，需熟记公式，属于基础题.
6．C
①由原命题与逆否命题同真同假即可判断；
②由函数在区间上为增函数”，则，即可判断；
③由若为假命题，则，至少有一个为假命题即可判断出正误；
④由的定义即可判断出正误；
对于①，由于原命题“若，则”为真命题，即逆否命题也为真命题，故①对；
对于②，“”是“函数在区间上为增函数”为真命题，但“函数在区间上为增函数”，则，故②对；
对于③，若为假命题，则，至少有一个为假命题即可，故③错；
对于④，对于命题：
，，由的定义可知：
，，故④对；
故选C
本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
7．C
求出已知数列除以2所得的余数，归纳可得是周期为3的周期数列，求出一个周期中三项和，从而可得结果.
由数列各项除以2的余数，
可得为，
所以是周期为3的周期数列，
一个周期中三项和为，
因为，
所以数列的前2019项的和为，
故选C.
本题主要考查归纳推理的应用，考查了递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和：
（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；
（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
8．C
根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进行逐一分析，即可进行选择.
对于A：
根据b的正负即可判断正负相关关系.
线性回归方程为，b=﹣0.7<
0，故负相关.
对于B：
当x=20时，代入可得y=﹣3.7
对于C：
根据表中数据：
9.
可得4.
即，
解得：
m=5.
对于D：
由线性回归方程一定过（），即（9，4）.
C.
本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合基础题.
9．C
求出函数的周期判断A的正误；
函数的对称轴判断B的正误；
函数的单调性判断C的正误；
函数的最值判断D的正误；
由题意知：
，最小正周期T，选项A错误;
当时，，
即函数的图象关于点对称，选项B错误；
∴函数在上单调递减，选项C正确;
∵函数在上单调递增，，
即函数在上没有最大值，
∴选项D错误，故选C.
本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题．
10．B
根据“或”为真命题，“且”为假命题，进行分了讨论，由此求得实数的取值范围.
当真时，，解得或.
当真时，时，，所以关于的方程有正实数解，可得.
由于“或”为真命题，“且”为假命题，所以一真一假.
当真假时，“或”且“”，所以.
当假真时，“”且“”，所以.
综上所述，实数的取值范围是.
B.
本小题主要考查根据含有逻辑联结词的命题的真假性求参数的取值范围，属于基础题.
11．D
首先根据不等式恒成立求得的取值范围.然后结合“”代换的方法以及基本不等式，求得实数的取值范围.
由于不等式对任意实数恒成立，即恒成立，而，所以①.由于，.所以，解得.
故选D.
本小题主要考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查利用“1”的代换的方法和基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．A
由，，可得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，进而由可得结果.
因为，，所以.
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由正弦定理得，
所以.
又，所以，
故选A.
本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查学生合理进行边角转化的能力，属于中档题.
13．
由函数求出，，由此能求出的值.
函数，
，，
故答案为：
本题考查分段函数求值，属于基础题.
14．
根据根与系数之间的关系得到和的值，利用两角和的正切公式进行计算即可.
，是方程的两个实数根，
由，
故答案为
本题主要考查正切的两角和的公式，需熟记公式.
15．
由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
由可知，
且：
，因为对于任意，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：
.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；
二定——积或和为定值；
三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
16．.
设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b的不等式即可求得实数的取值范围.
由题意O（0,0）,O1（4,0）.设P（x,y），则
∵PB=2PA，，
∴（x−4）2+y2=4（x2+y2），
∴x2+y2+=0，
圆心坐标为,半径为，
∵动点P在直线x+y−b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，
∴直线与圆x2+y2+=0相交，
∴圆心到直线的距离，
∴，
即实数的取值范围是.
本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．
（1）
（2）
（1）由等比数列的通项公式求出即可求解.
（2）由
（1）求出的通项公式，再有裂项相消法求和即可.
解：
（1）由已知：
即，所以或（舍去），
（2）由
（1）知：
本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.
18．
（1）频率为，全班人数为.
（2）
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