131三角函数的诱导公式一Word格式.docx

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π－α与α

关于y轴对称

[预习导引]

1．诱导公式一～四

（1）公式一：

sin（α＋2kπ）＝sin_α，cos（α＋2kπ）＝cos_α，

tan（α＋2kπ）＝tan_α，其中k∈Z.

（2）公式二：

sin（π＋α）＝－sin_α，cos（π＋α）＝－cos_α，

tan（π＋α）＝tan_α.

（3）公式三：

sin（－α）＝－sin_α，cos（－α）＝cos_α，

tan（－α）＝－tan_α.

（4）公式四：

sin（π－α）＝sin_α，cos（π－α）＝－cos_α，

tan（π－α）＝－tan_α.

2．诱导公式的整合与记忆

2kπ＋α（k∈Z），π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”！

要点一　给角求值问题

例1　求下列各三角函数式的值：

（1）sin1320°

；

（2）cos；

　（3）tan（－945°

）．

解　

（1）法一　sin1320°

＝sin（3×

360°

＋240°

）

＝sin240°

＝sin（180°

＋60°

）＝－sin60°

＝－.

法二　sin1320°

＝sin（4×

－120°

）＝sin（－120°

＝－sin（180°

－60°

（2）法一　cos＝cos＝cos

＝cos（π＋）＝－cos＝－.

法二　cos＝cos

＝cos＝－cos＝－.

（3）tan（－945°

）＝－tan945°

＝－tan（225°

＋2×

＝－tan225°

＝－tan（180°

＋45°

）＝－tan45°

＝－1.

规律方法　此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．

跟踪演练1　求sin·

cos的值（n∈Z）．

解　①当n为奇数时，原式＝sin·

＝sin·

cos＝×

＝.

②当n为偶数时，原式＝sinπ·

cosπ

cos

要点二　给值求值问题

例2　已知cos（α－75°

）＝－，且α为第四象限角，求sin（105°

＋α）的值．

解　∵cos（α－75°

）＝－<

0，且α为第四象限角，

∴α－75°

是第三象限角．

∴sin（α－75°

）＝－

＝－＝－.

∴sin（105°

＋α）＝sin

＝－sin（α－75°

）＝.

规律方法　解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．

跟踪演练2　已知cos（π＋α）＝－，π<

α<

2π，求sin（α－3π）＋cos（α－π）的值．

解　∵cos（π＋α）＝－cosα＝－，∴cosα＝，

∵π<

2π，∴<

2π，∴sinα＝－.

∴sin（α－3π）＋cos（α－π）＝－sin（3π－α）＋cos（π－α）

＝－sin（π－α）＋（－cosα）

＝－sinα－cosα＝－（sinα＋cosα）

＝－＝.

要点三　三角函数式的化简

例3　化简下列各式．

（1）；

（2）.

解　

（1）原式＝

＝＝－＝－tanα.

（2）原式＝

＝＝

＝＝－1.

规律方法　三角函数式的化简方法：

（1）利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．

（2）常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．

（3）注意“1”的变式应用：

如1＝sin2α＋cos2α＝tan.

跟踪演练3　化简下列各式．

＝＝1.

＝＝＝.

1．求下列三角函数的值．

（1）sin690°

（2）cos；

（3）tan（－1845°

解　

（1）sin690°

＝sin（360°

＋330°

）＝sin330°

＝sin（180°

＋150°

）＝－sin150°

＝－sin（180°

－30°

＝－sin30°

（2）cos＝cosπ＝cos（6π＋π）

＝cosπ＝cos＝－cos＝－.

）＝tan（－5×

－45°

）＝tan（－45°

＝－tan45°

2．化简：

.

解　原式＝

＝

3．求.

解　原式＝＝1.

4．证明：

＝（－1）ncosα，n∈Z.

证明　当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，

左边＝

＝＝＝cosα.

右边＝（－1）2kcosα＝cosα，

∴左边＝右边．

当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，

＝＝－cosα.

右边＝（－1）2k－1cosα＝－cosα，

综上所述，＝（－1）ncosα，n∈Z成立．

1．明确各诱导公式的作用

诱导公式

作用

公式一

将角转化为0～2π之间的角求值

公式二

将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值

公式三

将负角转化为正角求值

公式四

将角转化为0～之间的角求值

2.诱导公式的记忆

这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．

一、基础达标

1．sin585°

的值为（　　）

A．－B.C．－D.

答案　A

2．若n为整数，则代数式的化简结果是（　　）

A．±

tanαB．－tanα

C．tanαD.tanα

答案　C

3．若cos（π＋α）＝－，π<

2π，则sin（2π＋α）等于（　　）

A.B．±

C.D．－

答案　D

解析　由cos（π＋α）＝－，得cosα＝，故sin（2π＋α）＝sinα＝－＝－（α为第四象限角）．

4．tan（5π＋α）＝m，则的值为（　　）

A.B.C．－1D．1

解析　原式＝＝＝.

5．记cos（－80°

）＝k，那么tan100°

等于（　　）

A.B．－

C.D．－

答案　B

解析　∵cos（－80°

）＝k，∴cos80°

＝k，

∴sin80°

∴tan80°

∴tan100°

＝－tan80°

6．已知cos＝，则cos＝________.

答案　－

解析　cos＝cos

＝－cos＝－.

7．若sin（180°

＋α）＋cos（90°

＋α）＝－a，则cos（270°

－α）＋2sin（360°

－α）的值是________．

答案　－a

二、能力提升

8．若sin（π－α）＝log8，且α∈，则cos（π＋α）的值为（　　）

C．±

D．以上都不对

解析　∵sin（π－α）＝sinα＝log232－2＝－，

∴cos（π＋α）＝－cosα＝－

＝－＝－.

9．化简：

sin（－α）cos（π＋α）tan（2π＋α）＝________.

答案　sin2α

解析　原式＝（－sinα）（－cosα）tanα

＝sinαcosα＝sin2α.

10．设f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f（2013）＝1，则f（2014）＝________.

答案　3

解析　f（2013）＝asin（2013π＋α）＋bcos（2013π＋β）＋2

＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）＋2＝2－（asinα＋bcosβ）＝1，

∴asinα＋bcosβ＝1，

f（2014）＝asin（2014π＋α）＋bcos（2014π＋β）＋2

＝asinα＋bcosβ＋2＝3.

11．若cos（α－π）＝－，求

的值．

＝－tanα.

∵cos（α－π）＝cos（π－α）＝－cosα＝－，

∴cosα＝.∴α为第一象限角或第四象限角．

当α为第一象限角时，cosα＝，

sinα＝＝，

∴tanα＝＝，∴原式＝－.

当α为第四象限角时，cosα＝，

sinα＝－＝－，

∴tanα＝＝－，∴原式＝.

综上，原式＝±

12．已知sin（α＋β）＝1，求证：

tan（2α＋β）＋tanβ＝0.

证明　∵sin（α＋β）＝1，

∴α＋β＝2kπ＋（k∈Z），

∴α＝2kπ＋－β（k∈Z）．

tan（2α＋β）＋tanβ＝tan＋tanβ

＝tan（4kπ＋π－2β＋β）＋tanβ

＝tan（4kπ＋π－β）＋tanβ

＝tan（π－β）＋tanβ

＝－tanβ＋tanβ＝0，

∴原式成立．

三、探究与创新

13．在△ABC中，若sin（2π－A）＝－sin（π－B），cosA＝－cos（π－B），求△ABC的三个内角．

解　由条件得sinA＝sinB，cosA＝cosB，

平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±

，

又∵A∈（0，π），∴A＝或π.

当A＝π时，cosB＝－<

0，∴B∈，

∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．

∴A＝，cosB＝，∴B＝，∴C＝π.