最新初中数学的几何最值问题Word下载.docx

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C.（，）D.（，）

9.（2012浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°

，∠ABC=45°

，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．

10.（2012江苏连云港12分）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，

问题1：

如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

问题2：

如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？

如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题3：

若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？

问题4：

如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？

11.（2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°

，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．

（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？

如果不变，求出这个定值；

如果变化，求出最大（或最小）值．

12.（2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．

（1）由题设条件，请写出三个正确结论：

（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）

答：

结论一：

；

结论二：

结论三：

．

（2）若∠B=45°

，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），

①求CE的最大值；

②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．

（注意：

在第

（2）的求解过程中，若有运用

（1）中得出的结论，须加以证明）

13.（2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°

，M是BC的中点．

（1）求证：

△MDC是等边三角形；

（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；

如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

14.（2011浙江台州4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【】

15.（2011云南昆明12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，AB=10cm，AC：

BC=4：

3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．

（1）求AC、BC的长；

（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；

（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．

16.（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．

17.（2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°

，∠B＝∠D＝90°

，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【】

A．130°

B．120°

C．110°

D．100°

18.（2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则＝　　　　．

19.（2012湖北十堰6分）阅读材料：

例：

说明代数式的几何意义，并求它的最小值．

解：

，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．

设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3。

根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B的距离之和．（填写点B的坐标）

（2）代数式的最小值为．

20.（2012江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　▲　．

21.（2012广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°

≤α＜90°

）．

（1）当α=60°

时，求CE的长；

（2）当60°

＜α＜90°

时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？

若存在，求出k的值；

若不存在，请说明理由．

②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．

22.（2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。

AM=AN；

（2）设BP=x。

若，BM=，求x的值；

记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；

连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？

并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。

23.（2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为.

⑴当时，求弦PA、PB的长度；

⑵当x为何值时，的值最大？

最大值是多少？

24.（2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为．

（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；

（2）求

（1）中作出的正方形的边长；

（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．

25.（2012四川宜宾12分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：

点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．

△ABE∽△ECM；

（2）探究：

在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？

若能，求出BE的长；

若不能，请说明理由；

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

26.（2012湖南娄底10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°

，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．

△BMD∽△CNE；

（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？

（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；

当x为何值时，y有最大值？

并求y的最大值．

27.（2012河北省12分）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．

探究：

如图1，AH⊥BC于点H，则AH=，AC=，△ABC的面积S△ABC=；

拓展：

如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0）

（1）用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S△CBD；

（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；

（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．

发现：

请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

28.（2011河北省10分）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．

思考

如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．

当α=▲度时，点P到CD的距离最小，最小值为▲．

探究一

在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为