全国高考文科数学试题及答案全国.doc

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2010年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

第Ⅰ卷（选择题）

本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式

S=4πR2

如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径

球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

一、选择题

（1）设全集，集合,则（　　）

（Ａ）　　　　（Ｂ）　　　（Ｃ）　（Ｄ）

（２）不等式的解集为（　　）

（Ａ）　　　　　　　（Ｂ）

（Ｃ）　　　　（Ｄ）

（3）已知，则

（A）（B）（C）（D）

（4）函数的反函数是

（A）（B）

（C）（D）

（5）若变量满足约束条件，则的最大值为

（A）1（B）2（C）3（D）4

（6）如果等差数列中，++=12，那么++…+=

（A）14（B）21（C）28（D）35

（7）若曲线在点处的切线方程式，则

（A）（B）

（C）（D）

（8）已知三棱锥中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为

（A）（B）（C）（D）

（9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有

（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种

（10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若，，，则=

（A）（B）（C）（D）

（11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个（B）有且只有2个

（C）有且只有3个（D）有无数个

（12）已知椭圆C：

+=1的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若=3，则k=

（A）1（B）（C）（D）2

第Ⅱ卷（非选择题）

二.填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

（13）已知是第二象限的角，，则___________.

（14）的展开式中的系数是__________

（15）已知抛物线的准线为，过M（1,0）且斜率为的直线与相交于点A,与C的一个交点为B,若，，则等于_________.

（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆Ｍ与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=________________.

三.解答题：

本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）

△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33,,.求AD.

（18）（本小题满分12分）

已知是各项均为正数的等比例数列，且

，.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设,求数列的前项和.

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1.

（Ⅰ）证明：

DE为异面直线AB1与CD的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45o,求二面角A1-AC1-B1的大小.

（20）（本小题满分12分）

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率.

（21）（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）设，求的单调区间；

（Ⅱ）设在区间（2,3）中至少有一个极值点，求的取值范围.

（22）（本小题满分12分）

已知斜率为1的直线与双曲线C：

相交于B、D两点，且BD的中点为.

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：

过A、B、D三点的圆与轴相切.

2010年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案和评分参考

一、选择题

1.C2.A3.B4.D5.C6.C7.A8.D9.B

10.B11.D12.B

二、填空题

13.14.8415.216.3

三、解答题

（17）解：

由

由已知得，

从而

.

由正弦定理得

所以

.

（18）解：

（Ⅰ）设公比为q，则.由已知有

化简得

又，故

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

因此

（19）解法一：

（Ⅰ）连结,记与的交点为F.因为面为正方形，故，且.又，所以，又D为的中点，故.

作,G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面面，得.

连结DG，则，故,由三垂线定理，得.

所以DE为异面直线与CD的公垂线.

（Ⅱ）因为，故为异面直线与的夹角，.

设AB=2，则，，,.

作,H为垂足，因为底面,故，

又作，K为垂足，连结,由三垂线定理，得，因此为二面角的平面角

所以二面角的大小为

解法二：

（Ⅰ）以B为坐标原点，射线BA为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=2，则A（2,0,0,），，D（0,1,0），，

又设C（1,0,c）,则.

于是.

故,

所以DE为异面直线与CD的公垂线.

（Ⅱ）因为等于异面直线与CD的夹角，

故，

即，

解得，故，

又，

所以，

设平面的法向量为，

则

即

令，则，故

令平面的法向量为

则，即

令，则，故

所以.

由于等于二面角的平面角，

所以二面角的大小为.

（20）解：

记表示事件：

电流能通过

A表示事件：

中至少有一个能通过电流，

B表示事件：

电流能在M与N之间通过，

（Ⅰ）相互独立，

又，

故，

（Ⅱ），

=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9

=0.9891

（21）解：

（Ⅰ）当a=2时，

当时在单调增加；

当时在单调减少；

当时在单调增加；

综上所述，的单调递增区间是和，

的单调递减区间是

（Ⅱ），

当时，为增函数，故无极值点；

当时，有两个根

由题意知，

①式无解，②式的解为，

因此的取值范围是.

（22）解：

（Ⅰ）由题设知，的方程为：

，

代入C的方程，并化简，得，

设，

则①

由为BD的中点知，故

即，②

故

所以C的离心率

（Ⅱ）由①②知，C的方程为：

，

故不妨设，

，

，

.

又，

故，

解得，或（舍去），

故，

连结MA，则由，知，从而,且轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与轴相切，所以过A、B、D三点的圆与轴相切.