国家政策对浅谈高考中的数学建模问题_精品文档Word格式文档下载.doc
《国家政策对浅谈高考中的数学建模问题_精品文档Word格式文档下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《国家政策对浅谈高考中的数学建模问题_精品文档Word格式文档下载.doc(6页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(3)利用数学的相关方法将得到的常见数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果。
而解答这类问题的要害就在于理解题意,建立恰当的数学模型将问题转化为数学问题。
下面略举数例谈谈函数建模在生活和高考中的应用。
1、优化问题实际问题中的“优选”“控制”等问题,常需建立“不等式模型”或“线性规划”问题解决
例1、(1996年全国高考题)某地现有耕地10000公顷,规划l0年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?
(粮食单产=总产量/总面积,人均粮食占有量=总产量/总人口数)。
(平均增长率问题:
如果原来人口的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的人口量为y=N(1+p)x.)
分析:
人口是以年增长率计算,土地是以每年减少的亩数计算,因此可以这样理解:
人口是以几何级数(等比数列)增长,土地是以算术级数(等差数列)减少。
本题的解答关键是建立数学模型,设现在总人口为p人时,10年后总人口为p(1+0.01)10;
现在人均粮食占有量为bt(吨)时,10年后则为6(1+10%)t;
现在耕地共104公顷,设每年允许减少xha时,10年后耕地将共有(104一l0x)公顷;
现有单产为Mt吨/公顷,10年后单产为M×
(1+22%)t/公顷。
设耕地平均每年至多只能减少x公顷,又设该地区现有人口为p人,粮食单产为M吨/公顷。
解:
依题意得不等式
答:
按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
本题也可属于预测问题,通过建立数列模型和不等式模型来解决问题。
2、最(极)值问题工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”,转化为求函数的最值。
例2、(2007年福建高考)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交元()的管理费,预计当每件产品的售价为元()时,一年的销售量为万件.
(Ⅰ)求分公司一年的利润(万元)与每件产品的售价的函数关系式;
(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润最大,并求出的最大值
总利润=每一件的利润×
销售量=(每一件的售价-成本-管理费)×
销售量
(Ⅰ)分公司一年的利润(万元)与售价的函数关系式为:
.
(Ⅱ)
令得或(不合题意,舍去).
,.
在两侧的值由正变负.
所以
(1)当即时,
(2)当即时,
,
所以
若,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润最大,最大值(万元);
若,则当每件售价为元时,分公司一年的利润最大,最大值(万元)
本题利用导数来求三次函数的最值。
3、预测问题经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决
例3、(2002年全国理科)某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同。
为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
设2001年末汽车保有量为万辆,以后各年末汽车保有量依次为万辆,万辆,…,每年新增汽车万辆,则
对于,有
当,即时
。
数列逐项增加,可以任意靠近
因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,即
()
则,即万辆
综上,每年新增汽车不应超过万辆。
4、等量关系问题建立“方程模型”解决,通过题目中的等量关系建立方程,再通过方程整理出函数关系式或解方程来解决问题。
例4、(1995年全国高考题)某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴,设淡水鱼的市场价格为x元/kg,政府补贴为t元/kg,根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量Pkg与市场日需求量Qkg近似地满足关系
P=1000(x+t-8),(x≥8,t≥0)
当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?
从数学的角度理解政府补贴t的含义,可与税收联系起来,当t>
0时,则是补贴,意在扶植促进某个行业的发展,如果t<
0时,则是课税,为政府积累资金。
(1)依题设,有
解得t≥1或t≤-5,由于t≥0,知t≥1,从而政府补贴至少为每千克1元。
5、测量问题可设计成“图形模型”利用几何知识解决。
建立坐标,将问题转化为几何问题,利用几何知识或者解析几何知识来解决问题。
例5、(2003年全国理科)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°
方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
.解:
如图建立坐标系:
以O为原点,正东方向为x轴正向.
在时刻:
t(h)台风中心的坐标为
此时台风侵袭的区域是,
其中t+60,
若在t时,该城市O受到台风的侵袭,则有
即
即,解得.
12小时后该城市开始受到台风气侵袭。
本题通过建立解析几何模型来解决,此模型可用于研究台风,沙暴中心的运动规律,以预防自然灾害。