114 直接证明与间接证明Word文档格式.docx
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解析 a，b，c中恰有一个偶数说明有且仅有一个是偶数，其否定有a，b，c均为奇数或a，b，c中至少有两个偶数．故选B.
（2）（选修A1－2P42T2）设a>
b>
0，m＝
－
，n＝
，则m，n的大小关系是________．
答案 m<
n
解析 解法一：
（取特殊值法）取a＝2，b＝1，得m<
n.
解法二：
（作差法）由已知得m>
0，n>
0，则m2－n2＝a＋b－2
－a＋b＝2b－2
＝2
－2
<
0，∴m2<
n2，∴m<
3．小题热身
（1）若a>
0，b>
0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A.
>
B.
≤1
C.
≥2D.
≤
答案 D
解析 ∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2＝16.
∴a2＋b2≥8，∴
.故选D.
（2）设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>
2；
②a2＋b2>
2.其中能推出：
“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．（填序号）
答案 ①
解析 取a＝－2，b＝－1，则a2＋b2>
2，从而②推不出．①能够推出，即若a＋b>
2，则a，b中至少有一个大于1.
用反证法证明如下：
假设a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>
2矛盾．
因此假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1.
题型1 分析法的应用
已知a>
0，证明：
≥a＋
－2.
本题证明时需要用分析法，在推导过程中用到平方法．
证明 要证
－2，
只需证
≥
－（2－
）．
因为a>
0，所以
）>
0，
所以只需证
2≥
2，
即2（2－
）
≥8－4
，
只需证a＋
≥2.
0，a＋
≥2显然成立
，所以要证的不等式成立．
方法技巧
1．分析法证明问题的策略
（1）逆向思考是用分析法证题的主要思想．
（2）证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
2．分析法的适用范围及证题关键
（1）适用范围：
①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接．
②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体．
③含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导．
（2）证题关键：
保证分析过程的每一步都是可逆的．见典例．
冲关针对训练
（2018·
天津期末）已知x>
y>
0，m>
0.用分析法证明：
（2－
）≤1.
证明 要用分析法证明：
）≤1，
只需2
－（
）2≤1，
只需（
）2－2
＋1≥0，
即（
－1）2≥0，
因为x，y>
0，且（
－1）2≥0成立，
所以
题型2 综合法的应用
已知a，b，c为互不相等的实数，求证：
a4＋b4＋c4>
a2b2＋b2c2＋c2a2>
abc（a＋b＋c）．
利用基本不等式进行整理变形，使命题得证．
证明 ∵a4＋b4≥2a2b2，
b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
又a，b，c互不相等，
∴上面三式中至少有一个式子不能取“＝”，
∴a4＋b4＋c4>
a2b2＋b2c2＋c2a2.①
∵a2＋b2≥2ab，
∴a2c2＋b2c2≥2abc2，
同理a2b2＋a2c2≥2a2bc，b2c2＋b2a2≥2ab2c，
∴a2b2＋b2c2＋c2a2>
abc2＋a2bc＋ab2c.②
由①，②得a4＋b4＋c4>
1．利用综合法证题的策略
用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：
（1）定义明确的问题；
（2）已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．
2．综合法证明问题的常见类型及方法
（1）与不等式有关的证明：
充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用．见典例．
（2）与数列有关的证明：
充分利用等差、等比数列的定义通项及前n项和公式证明．
（2017·
黄冈模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，且（3－m）Sn＋2man＝m＋3（n∈N）．其中m为常数，且m≠－3.
（1）求证：
{an}是等比数列；
（2）若数列{an}的公比q＝f（m），数列{bn}满足b1＝a1，bn＝
f（bn－1）（n∈N，n≥2），求证：
为等差数列．
证明
（1）由（3－m）Sn＋2man＝m＋3，得
（3－m）Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.
两式相减，得（3＋m）an＋1＝2man，m≠－3，
∴
＝
，∴{an}是等比数列．
（2）∵（3－m）Sn＋2man＝m＋3，
∴（3－m）a1＋2ma1＝m＋3，∴a1＝1.
b1＝a1＝1，q＝f（m）＝
，∴当n∈N且n≥2时，
bn＝
f（bn－1）＝
·
⇒bnbn－1＋3bn＝3bn－1⇒
.
是首项为1，公差为
的等差数列．
题型3 反证法的应用
直线y＝kx＋m（m≠0）与椭圆W：
＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．
（1）当点B的坐标为（0,1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：
四边形OABC不可能为菱形．
因菱形的对角线垂直且相互平分，所以由对角线的中点求对角线的斜率，研究其是否垂直．
解
（1）因为四边形OABC为菱形，
AC与OB相互垂直平分．
可设A
，代入椭圆方程得
＝1，
即t＝±
，所以|AC|＝2
（2）证明：
假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.
由
消y并整理得
（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A（x1，y1），C（x2，y2），则
＝－
＝k·
＋m＝
AC的中点为M
因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，
所以直线OB的斜率为－
因为k·
≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．
反证法的适用范围
（1）否定性命题；
（2）命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；
（3）当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；
（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．
济南质检）若f（x）的定义域为[a，b]，值域为[a，b]（a<
b），则称函数f（x）是[a，b]上的“四维光军”函数．
是否存在常数a，b（a>
－2），使函数h（x）＝
是区间[a，b]上的“四维光军”函数？
若存在，求出a，b的值；
若不存在，请说明理由．
解 假设函数h（x）＝
在区间[a，b]（a>
－2）上是“四维光军”函数，因为h（x）＝
在区间（－2，＋∞）上单调递减，
所以有
即
解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．
1．（2014·
山东高考）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是（ ）
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
答案 A
解析 因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要作的假设是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．故选A.
2．（2017·
郑州模拟）设x>
0，P＝2x＋2－x，Q＝（sinx＋cosx）2，则（ ）
A．P>
QB．P<
QC．P≤QD．P≥Q
解析 因为2x＋2－x≥2
＝2（当且仅当x＝0时等号成立），而x>
0，所以P>
又（sinx＋cosx）2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P>
Q.故选A.
3．（2016·
邹平县校级期中）若a>
c，则使
恒成立的最大的正整数k为（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案 C
解析 ∵a>
c，∴a－b>
0，b－c>
0，a－c>
0，且a－c＝a－b＋b－c.
又
＝2＋
≥2＋2＝4，当且仅当a－b＝b－c时等号成立．
∴k≤
，k≤4，故k的最大整数为4.故选C.
4．（2017·
海淀区二模）一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406,1630,7364,6173，则正确的密码中一定含有数字（ ）
A．4,6B．3,6C．3,7D．1,7
解析 若正确的密码中一定含有数字3,6，而3,6在第1,2,3,4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4,6或3,7不正确．若正确的密码中一定含有数字1,7，而3,6在第1,2,3,4的位置都有，根据它们各自的位置均不正确，可得1在第三位置，7在第四位置．故选D.
[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1．（2018·
无锡质检）已知m>
1，a＝
，b＝
，则以下结论正确的是（ ）
A．a>
bB．a<
b
C．a＝bD．a，b大小不定
解析 ∵a＝
.而
>
0（m>
1），
，即a<
b.故选B.
2．设x，y，z>
0，则三个数
（ ）
A．都大于2B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2
解析 由于
≥2＋2＋2＝6，
中至少有一个不小于2.故选C.
3．若用分析法证明：
“设a>
c，且a＋b＋c＝0，求证：
<
a”索的“因”应是（ ）
A．a－b>
0B．a－c>
C．（a－
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