中考数学专题复习第讲二次函数的应用含详细参考答案.doc
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2013年中考数学专题复习第十五讲二次函数的应用
【基础知识回顾】
一、二次函数与一元二次方程：
二次函数y=ax2+bx+c的同象与x轴的交点的横坐标对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，它们都由根的判别式决定
抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac>0＝＞一元二次方程有实数根
抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac=0＝＞一元二次方程有实数根
抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac<0＝＞一元二次方程有实数根
【名师提醒：
若抛物线与x轴有两交点为A（x1,0）B（x2,0）则抛物线对称轴式x=两交点间距离AB】
二、二次函数解析式的确定：
1、设顶点式，即：
设
当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时，除代入这一点外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式
2、设一般式，即：
设
知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求的函数解析式
【名师提醒：
求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：
如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】
三、二次函数的应用
1、实际问题中解决最值问题：
步骤：
1、分析数量关系建立模型
2、设自变量建立函数关系
3、确定自变量的取值范围
4、根据顶点坐标公式或配法结合自变量的取值范围求出函数最值
2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题
一般步骤：
1、求一些特殊点的坐标
2、将点的坐标代入函数关系式求出函数的解析式
3、结合图像根据自变量取值讨论点的存在性或图形的形状等问题
【名师提醒：
1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围
2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】
【重点考点例析】
考点一：
二次函数的最值
例1（2012•呼和浩特）已知：
M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x（ ）
A．有最大值，最大值为B．有最大值，最大值为
C．有最小值，最小值为D．有最小值，最小值为
思路分析：
先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可．
解：
∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），
∴N点的坐标为（-a，b），
又∵点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y=x+3的图象上，
∴，
整理得，
故二次函数y=-abx2+（a+b）x为y=x2+3x，
∴二次项系数为＜0，故函数有最大值，最大值为y=，
故选：
B．
点评：
本题考查的是二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题是利用公式法求得的最值．
对应训练
1．（2012•兰州）已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（ ）
A．a＞bB．a＜bC．a=bD．不能确定
1．A
解：
∵二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值，
∴抛物线开口方向向上，即a＞0；
又最小值为1，即-b=1，∴b=-1，
∴a＞b．
故选A．
考点二：
确定二次函数关系式
例2（2012•珠海）如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．
A
B
C
O
x
y
思路分析：
（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．
解：
（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m得，
（1-2）2+m=0，
1+m=0，
m=-1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1．
当x=0时，y=4-1=3，
故C点坐标为（0，3），
由于C和B关于对称轴对称，在设B点坐标为（x，3），
令y=3，有（x-2）2-1=3，
解得x=4或x=0．
则B点坐标为（4，3）．
设一次函数解析式为y=kx+b，
将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，
，
解得，则一次函数解析式为y=x-1；
（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），
∴当kx+b≥（x-2）2+m时，1≤x≤4．
点评：
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出B点坐标是解题的关键．
对应训练
2．（2012•佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）写出顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．
2．分析：
（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c中，列方程组求b、c的值即可；
（2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴；
（3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标．
解：
（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得
，
解得，
所以解析式为y=x2-2x。
（2）∵y=x2-2x=（x-1）2-1，
∴顶点为（1，-1），
对称轴为：
直线x=1。
（3）设点B的坐标为（a，b），则
×2|b|=3，
解得b=3或b=-3，
∵顶点纵坐标为-1，-3＜-1（或x2-2x=-3中，x无解）
∴b=3，
∴x2-2x=3，
解得x1=3，x2=-1
所以点B的坐标为（3，3）或（-1，3）。
点评：
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．关键是将抛物线上两点坐标代入解析式，列方程组求解析式，将抛物线解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴．
考点三：
二次函数与x轴的交点问题
例3（2012•天津）若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
思路分析：
将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．
解：
一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：
x2-5x+6-m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，
∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，
解得：
m＞，故选项②正确；
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6-m，
而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；
二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），
令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，
解得：
x=2或3，
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．
综上所述，正确的结论有2个：
②③．
故选C．
点评：
此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．
对应训练
3．（2012•株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（ ）
A．（-3，0）B．（-2，0）C．x=-3D．x=-2
3．A
解：
抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），
∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，
∴=-1，解得b=-3，
∴B（-3，0）．
故选A．
考点四：
二次函数的实际应用
例4（2012•绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是m．
思路分析：
根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
解：
令函数式y=-（x-4）2+3中，y=0，
0=-（x-4）2+3，
解得x1=10，x2=-2（舍去），
即铅球推出的距离是10m．
故答案为：
10．
点评：
本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
例5（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
输送的污水量y1（吨）
12000
6000
4000
3000
2400
2000
7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c（a≠0）．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：
z1（元）与月份x之间满足函数关系式：
z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：
z2（元）与月份x之间满足函数关系式：
z2=x-x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．
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