学年高中数学第1章算法初步1123循环结构学案新人教A版必修3.docx

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学年高中数学第1章算法初步1123循环结构学案新人教A版必修3

第3课时　循环结构

1．掌握两种循环结构的程序框图的画法，能进行两种循环结构程序框图间的转化．

2．掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图．

1．循环结构的定义

在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构．反复执行的步骤称为循环体．

2．循环结构的特点

（1）重复性：

在一个循环结构中，总有一个过程要重复一系列的步骤若干次，而且每次的操作完全相同．

（2）判断性：

每个循环结构都包含一个判断条件，它决定这个循环的执行与终止．

（3）函数性：

循环变量在构造循环结构中起了关键作用，蕴含着函数的思想．

3．两种循环结构的比较

判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）循环结构中一定包含条件结构．（　　）

（2）循环结构分为直到型循环结构和当型循环结构，两种结构不能相互转化．（　　）

（3）含有循环结构的程序框图中的判断框内的条件是唯一的．（　　）

[提示]　

（1）√　循环结构是在一些算法中从某处开始，按照一定条件反复执行处理某一步骤，因此循环结构一定包含条件结构．

（2）×　直到型循环结构和当型循环结构，可以相互互化．

（3）×　在具体的程序框图设计时，这里的条件可以不同，但不同表示应该有共同的确定的结果．

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）×

题型一　含循环结构的程序框图的运行　　　　　　　　　　

【典例1】　

（1）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）

A．15B．105C．245D．945

（1）题图　　　　　　　

（2）题图

（2）如图所示，程序框图的输出结果是____________．

[思路导引]　利用循环结构重复操作，注意终止条件．

[解析]　

（1）当i＝1时，T＝3，S＝3；当i＝2时，T＝5，S＝15；当i＝3时，T＝7，S＝105；当i＝4时输出S＝105.

（2）第一次循环：

s＝，n＝4，

第二次循环：

s＝＋＝，n＝6，

第三次循环：

s＝＋＝，n＝8<8不成立，退出循环，输出结果为.

[答案]　

（1）B　

（2）

　利用循环结构解决问题的“三个确定”

（1）确定循环变量及初始值，弄清循环变量表示的意义、取值范围及变化规律．

（2）确定循环体的功能，根据实际情况确定采用哪种循环结构．

（3）确定循环结构的终止条件，弄清不等号的方向及是否含有等号．

[针对训练1]　执行如图所示的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．

[解析]　由程序框图可知：

第一次循环，

F1＝1＋2＝3，F0＝3－1＝2，n＝2，

此时＝≤0.25不成立；

第二次循环，F1＝2＋3＝5，F0＝5－2＝3，n＝3，

此时＝≤0.25成立，

输出n＝3.

[答案]　3

题型二循环结构的程序框图的设计

角度1　当型循环结构与直到型循环结构

【典例2】　设计一个计算1＋＋＋…＋的值的算法，并画出程序框图．

[思路导引]　这是一个累加问题，可设i为记数变量，S为累加变量，然后用循环结构画出程序框图．

[解]　解法一：

第一步，令i＝1，S＝0.

第二步，若i≤100成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法．

第三步，S＝S＋.

第四步，i＝i＋1，返回第二步．

程序框图如下：

解法二：

第一步，令i＝1，S＝0.

第二步，S＝S＋.

第三步，i＝i＋1.

第四步，若i＞100不成立，则返回第二步；否则，输出S，结束算法．

程序框图如下：

　两种循环结构的联系和区别

（1）联系

①当型循环结构与直到型循环结构可以相互转化；

②循环结构中必然包含条件结构，以保证在适当的时候终止循环；

③循环结构只有一个入口和一个出口；

④循环结构内不存在“死循环”，即不存在无终止的循环．

（2）区别

直到型循环结构是先执行一次循环体，然后再判断是否继续执行循环体，当型循环结构是先判断是否执行循环体；直到型循环结构是在条件不满足时执行循环体，当型循环结构是在条件满足时执行循环体．要掌握这两种循环结构，必须抓住它们的区别．

[针对训练2]　设计一个算法，求13＋23＋33＋…＋1003的值，并画出程序框图．

[解]　算法如下：

第一步，使S＝0.

第二步，使I＝1.

第三步，使S＝S＋I3.

第四步，使I＝I＋1.

第五步，若I＞100，则输出S，算法结束；否则，返回第三步．

程序框图如图所示：

角度2　求满足条件的最大（小）整数问题

【典例3】　写出一个求满足1×3×5×7×…×n＞50000的最小正整数n的算法，并画出相应的程序框图．

[思路导引]　利用循环结构重复操作，可求最小正整数．

[解]　算法如下：

第一步，S＝1.

第二步，n＝3.

第三步，如果S≤50000，那么S＝S×n，n＝n＋2，重复第三步；否则，执行第四步．

第四步，n＝n－2.

第五步，输出n.

程序框图如图所示：

（1）在使用循环结构时，需恰当地设置累加（乘）变量和计数变量，在循环体中要设置循环终止的条件．

（2）在最后输出结果时，要避免出现多循环一次或少循环一次的情况．

[针对训练3]　看下面的问题：

1＋2＋3＋…＋（　　）＞10000，这个问题的答案虽然不唯一，但我们只要确定出满足条件的最小正整数n0，括号内填写的数只要大于或等于n0即可．试写出寻找满足条件的最小正整数n0的算法，并画出相应的程序框图．

[解]　解法一：

第一步，p＝0.

第二步，i＝0.

第三步，i＝i＋1.

第四步，p＝p＋i.

第五步，如果p＞10000，则输出i；否则执行第六步．

第六步，返回第三步，重新执行第三步、第四步、第五步．该算法的程序框图如图①所示．

解法二：

第一步，取n的值等于1.

第二步，计算.

第三步，如果的值大于10000，那么n即为所求；否则，让n的值增加1后转到第二步重复操作．

根据以上的操作步骤，可以画出如图②所示的程序框图．

题型三循环结构程序框图的识别与解读

【典例4】　如图是为求1～1000的所有偶数的和而设计的一个程序框图，将空白处补上，并指明它是循环结构中的哪一种类型，并画出它的另一种循环结构框图．

[思路导引]　S为累加变量，i为记数变量，注意累加的量及累加的次数．

[解]　∵当i≤1000时开始执行①②两部分，结合循环结构的形式可知，该程序为当型循环结构，又i＝2，S＝0，且计算2＋4＋6＋…＋1000的值，故①②两处分别填S＝S＋i，i＝i＋2.

直到型循环结构如图所示．

解决此类问题的关键是根据程序框图理解算法的功能．考试考查的重点是程序框图的输出功能、程序框图的补充，以及算法思想和基本的运算能力、逻辑思维能力，题目难度不大，大多可以按照程序框图的流程逐步运算而得到．

[针对训练4]　执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（　　）

A．s>？

B．s>？

C．s>？

D．s>？

[解析]　当输出k的值为6时，s＝1×××＝，结合题中的程序框图知，选C.

[答案]　C

课堂归纳小结

1.循环结构是指在算法中需要重复执行一条或多条指令的控制结构．

2．在循环结构中，通常都有一个起循环计数作用的变量，即计数变量．

3．循环变量、循环体、循环终止条件称为循环结构的三要素．

4．画程序框图要注意：

（1）使用标准的框图符号．

（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画．

（3）除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．

（4）框图中若出现循环结构，一定要分清当型和直到型结构的不同．

（5）在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚.

1．下列框图是循环结构的是（　　）

A．①②B．②③C．③④D．②④

[解析]　①是顺序结构，②是条件结构，③和④均是循环结构．

[答案]　C

2．一个完整的程序框图至少包含（　　）

A．起止框和输入、输出框

B．起止框和处理框

C．起止框和判断框

D．起止框、处理框和输入、输出框

[解析]　一个完整的程序框图至少包括起止框和输入、输出框，故选A.

[答案]　A

3．如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（　　）

A．①是循环变量初始化，循环就要开始

B．②为循环体

C．③是判断是否继续循环的终止条件

D．①可以省略不写

[解析]　①为循环变量初始化，必须先赋值才能有效控制循环，不可省略．故选D.

[答案]　D

3题图　　　　　　　　4题图

4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．2B．4C．8D．16

[解析]　当k＝0时，满足k<3，因此S＝1×20＝1；

当k＝1时，满足k<3，因此S＝1×21＝2；

当k＝2时，满足k<3，因此S＝2×22＝8；

当k＝3时，不满足k<3，因此输出S＝8.

[答案]　C

5．程序框图如图，如果程序运行的结果为S＝132，若要使输出的结果为1320，则正确的修改方法是（　　）

A．①处改为k＝13，S＝1

B．②处改为k<10?

C．③处改为S＝S×（k－1）

D．④处改为k＝k－2

[解析]　由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题．

由于1320＝10×11×12，

故判断框中应改为k≤9？

或者k<10？

.故选B.

[答案]　B

算法与数学文化

数学是一种先进的文化，是人类文明的重要基础，它的产生和发展在人类文明的进程中起着重要的推动作用，占有举足轻重的地位，下面就算法中涉及的数学文化问题仅举两例，供同学们赏析．

一、割圆术

　割圆术的步骤：

第一步，从半径为1的圆内接正六边形开始，计算它的面积S6.

第二步，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形……的面积，到一定的边数（设为2m）为止，得到一列递增的数S6，S12，S24，…，S2m.

第三步，在第二步中各正n边形每边外作一高为余径的矩形，把其面积2（S2n－Sn）与相应的正n边形的面积Sn相加，得Sn＋2（S2n－Sn）；这样又得到一列递减数S12＋（S12－S6），S24＋（S24－S12），S48＋（S48－S24），…，S2m＋（S2m－Sm）．

第四步，圆面积S满足不等式S2m

估计S的近似值，即圆周率的近似值．

【典例1】　探求圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形……的面积之间的关系．

[解]　如图所示，设圆的半径为1，弦心距为hn，正n边形的边长为xn，面积为Sn，由勾股定理，得

hn＝，

x2n＝（n≥6），易知x6＝1.

由图可知，正2n边形的面积等于正n边形的面积加上n个等腰三角形的面积，即S2n＝Sn＋n·xn（1－hn）（n≥6）．

利用这个递推公式，我们可以得到正六边形的面积、正十二边形的面积、正二十四边形的面积……

由于圆的半径为1，所以随着n的增大，S2n的值不断趋近于圆周率．

根据圆和正多边形的关系，主要是圆心角关系的一半，构成的直角三角形求解．

二、孙子剩余定理

【典例2】　在我国《算经十书》之一《孙子算经》中，原文有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

答曰：

二十三．”

人们将这个问题的通用解法称为“孙子剩余定理”或“中国剩余定理”．

算法思想：

“孙子问题”相当于求关于x，y，z的不定方程组的正整数解．

[解]　设所求的数为m，根据题意m应同时满足下列3个条件：

（1）m被3除后余2，即MOD（m,3）＝2.