届湖南省衡阳市高三第二次联考二模数学理试题解析版Word格式.docx

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，∵，，共有4个元素，∴的子集个数为16.

考查集合的表示，定义域，一元二次不等式解法，子集等知识。

旨在考查学生简化题意的能力，转化思想，以及基本的求解运算能力，属基础题。

3．若的展开式中存在常数项，则下列选项中，可为（）

A．9B．10C．11D．12

【解析】写出二项式展开通项公式，存在常数项，即x指数可为0，分析即可得结果。

由二项式展开式通项可得：

，依题须：

，观察选项可知，选C.

本题考查二项式定理应用，旨在考查考生的求解运算能力，属基础题。

4．记为等差数列前项和，若数列的第六项与第八项之和为4，则等于（）

A．2B．4C．6D．8

【答案】A

【解析】根据题意得，结合等差数列的前n项和公式，即可求出的值。

，∴.

考查等差数列的求和与性质，处理多样，重在考查考生的基本量思想与整体思想，分析能力以及求解运算能力，属基础题。

5．执行如图所示程序框图，若输入，则输出的值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】根据程序框图循环结构运算，依次带入数值即可求解。

，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，，跳出循环，输出的值为.

考查程序框图，循环结构与条件结构交织，结合简单的比较大小；

重在考查考生的分析能力，逻辑推理及求解运算能力，属基础题。

6．已知函数，将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的值域为（）

【解析】由诱导公式可求得，则，结合定义域，画出简图，即可求出的值域。

由题意得：

，，，整体法：

令，，，画简图直接可得：

，故选A

本题考查三角函数图像的平移变换，恒等变形（涉及诱导公式，二倍角公式等），三角函数类的值域求解.重在考查考生的等价变形，化繁为简转化以及数形结合能力.属基础题。

7．如图，正方体的顶点，在平面上，，若平面与平面所成角为，由如图所示的俯视方向，正方体在平面上的俯视图的面积为（）

A．2B．C．D．

【解析】由题意得与面所成的角为，与面所成的角为，做出投影（俯视图），即可求解。

直线在平面内，且平面与面所成的角为，与面所成的角为，故所得的俯视图的面积为.

本题以二面角中的投影面积法为背景考查三视图问题，重在考查考生的空间想象力与分析能力，属基础题。

8．在区域：

内任取-点，使得成立的概率为（）

【解析】式子的几何意义为：

点与点两点的斜率不超过1，画出图像，找到满足题意的部分，结合几何概型的公式，即可求解。

式子的几何意义为：

点与点两点的斜率不超过1.

则在如图所示阴影区域，易求点的纵坐标为1，所求概率为.

本题考查线性规划（目标函数为斜率型）问题，结合了几何概型，重在考查考生的转化能力，数形结合能力，思维的严谨性，以及求解运算能力.

9．已知双曲线：

的左右焦点分别为，，以坐标原点为圆心，的长为半径作圆，与在第一象限交于点，若直线的倾斜角为且，则双曲线的离心率为（）

A．B．C．2D．4

【解析】因为直径所对的圆周角为，所以，，，结合双曲线的定义，即可求解。

由题意知：

，，，，两边平方得：

.

本题考查双曲线的定义，离心率问题，结合了圆，三角函数的相关知识，重在考查学生的知识的综合应用能力，求解运算能力，属中档题。

10．若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数，，中，与函数不是亲密函数的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

【解析】逐个分析每个函数的定义域，单调区间，奇偶性，值域，并与作对比，即可得结果。

易知幂函数定义域为，偶函数，在上，，在上，，.四选项中函数的定义域都为且都为偶函数，单调性也与保持一致，显然在上递增，又，，递增，当，除（显然）外，其他函数的值都趋向于.故选B.

本题借助导数工具及基本初等函数图像及性质，考查了函数的单调性，奇偶性，对称性，极限等，重在考查考生的新情景处理问题的能力，数形结合能力，精准分析的理性思维能力，属中档题。

11．如图，直角三角形，，，将绕边旋转至位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（）

【解析】根据题意，找到球心H，设，，则，，所以，，结合二次函数的性质即可求表面积的最小值。

如图，，，分别为，，的中点，作面，作面，连，，易知点即为四面体的外接球心，，，。

设，，则，，，.

【处理一】

消元化为二次函数..

【处理二】

柯西不等式..所以.

本题为一个折叠问题中的外接球问题，重在考查考生的空间想象力能力，求解运算能力，以及数据处理能力，属中档题。

12．若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围是（）

【解析】设公切线与函数，分别切于点，，则过，的切线分别为：

、，两切线重合，可得，构造函数，只需，求导判断单调性，求出最小值，即可得结果。

设公切线与函数，分别切于点，，则过，的切线分别为：

、，两切线重合，则有：

代入得：

，构造函数：

，，。

，，.，，，，∴，.欲合题意，只须.

本题考查导数中的公切线存在性问题，涉及导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题：

重在考查考生的消元、转化、构造函数、数形结合能力以及求解运算能力，属中档题。

二、解答题

13．已知数列，满足，，，.

（1）证明：

数列，为等比数列；

（2）记为数列的前项和，证明：

【答案】

（1）见证明；

（2）见证明

【解析】

（1）将题中条件分别相加和相减，结合等比数列的定义，即可得证。

（2）根据

（1）结论可求出，则前n项和为两个等比数列的前n项和之和，代入公式，即可求解。

（1）依题：

，两式相加得：

，∴为等比数列，两式相减得：

，∴为等比数列.

（2）由上可得：

①，②，两式相加得：

，.

本题考查了等比数列的证明与求解，与等比数列的求和与放缩.旨在考查考生的基本运算能力，方程思想，对式子的结构感知能力，以及体会式子之间的协作互助性并利用之.

14．如图三棱柱，点在底面上的投影在线段上，，，，，.

；

（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求.

（2）

（1）在中，由余弦定理得，所以，所以，依题又，所以面，结合三棱柱的性质，即可得证。

（2）分别以,,为轴正方向建系，则，，.设面的法向量为，求得可为，根据线面角的正弦值即可求解。

连，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.又由勾股定理得：

，依题又，故而有面，

∵，∴面，又面，∴.

（2）依题如图建系，，，.

设面的法向量为，可为.

.

本题第一问考查线线垂直，体现了逆向分析思维，转化为线面垂直；

第二问，为含参的线面角问题.涉及动点坐标的处理，向量代数法的综合应用.题目结合传统几何法与向量代数法.重在考查考生的空间分析与想象能力，转化思想，求解运算能力，以及体会向量法的套路解题技巧的优越性，属中档题。

15．为庆祝“三八妇女节”，校组织该校48名女教职工参加跳绳与踢毽子两项健身活动.在规则下，成绩统计如图，代表跳绳的次数，代表踢毽子的次数，并设置奖励标准：

且为一等奖，每人奖励300元；

或为三等奖，每人奖励100元；

其余皆为二等奖，每人奖励200元；

（1）试估计该校女教职工获得奖金的平均数；

（2）从该校跳绳成绩的女教职工中随机抽取两人，若对拿到单项最高成绩者额外奖励每人100元，记这两人的奖金之和为，求.

（3）鉴于此项活动健康有趣，导向积极，易于操作，引得其他学校竞相效仿，相继举行此项活动（并设立同样的奖励标准）.若以样本估计总体，从参加此项活动的女教职工（人数很多）中随机抽取两人，记这两人所获奖金之和为，求的分布列和数学期望.

（1）

（2）（3）件解析

（1）由题中散点图可读出获得一，二，三等奖的人数，即可算出获得一，二，三等奖的概率，代入公式，即可求解。

（2）易知，成绩的有10人，一等奖8人，二等奖2人，列出的取值，即可求解。

（3）由

（1）可知获得一，二，三等奖的概率分别为，，，的取值可为200，300，400，500，600，即可求出分布列和期望。

（1）根据题意，读图可知，获得一，二，三等奖的人分别为8，24，16，估计该校女教职工获得奖金的平均数为.

（2）依题意易知，成绩的有10人，一等奖8人，二等奖2人，的取值可为400，500，600，700，800；

（3）依题意以样本估计总体易知，任取一人，获得一，二，三等奖的概率分别为，，.

此两人所获奖金之和为的取值可为200，300，400，500，600，

，，，，.

200

300

400

500

600

本题以妇女节为背景，体现社会对女性的尊重与人文关怀.考查了散点图的识别，离散型随机变量的分布列及数学期望，相互独立事件同时发生等.重在考查考生的读图与用图分析问题的能力，分类讨论以及数据处理，反面解题思想，统计思想，求解运算能力.

16．已知椭圆：

上点，过作两直线分别交于点，，当点，关于坐标原点对称且直线，斜率存在时，有.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线，关于直线对称，当面积最大时，求直线的方程.

（1）

（2）

（1）设，，由题意，即可解出的值，代入方程即得结果。

（2），关于直线对称，即，设直线：

，与椭圆联立可得，同理可得，设直线：

，可得O到直线AB的距离，代入面积公式，结合均值定理，即可求解。

（1）若，关于坐标原点对称，设，，依题：

，故椭圆的标准方程为.

（2）设，，依题：

，设直线：

，

，.

同理，.

设直线：

，，，

.（取等）

故直线的方程为.

本题第一问以圆锥曲线“第三定义”为背景，方程思想求解椭圆方程；

第二问法为求直线方程，引导学生从斜率入手，实际上斜率为定值（极限思想好理解），再由最大值时确定纵截距.本题考查了常见的解题技巧，利用方程思想求标准方程，联立方程韦达定理，同型代换，合理设点设线，面积处理，函数思想求解最值等，重在考査考生的基本的求解运算能力，方程思想，分析转化能力，以及探索发现精神，展现偶然与必然的数学思想，属中档题。

17．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）解关于的不等式.

（1）见解析；

（1）求导得，令，可得，又，即可求出的单调区间。

（2）对x分类讨论，当时、时不符合题意。

当时原不等式等价于，构造函数