近世代数练习题题库Word文档下载推荐.docx

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2填空题：

2.1若A={0,1},则A⨯A=__________________________________。

2.2设A={1，2}，B={a，b}，则A×

B=_________________。

2.3设={1,2,3}B={a,b},则AB=_______。

2.4设A={1,2},则A⨯A=_____________________。

2.5设集合；

，则有。

2.6如果是与间的一一映射，是的一个元，则。

2.7设A=｛a1,a2,…a8｝，则A上不同的二元运算共有个。

2.8设A、B是集合，|A|＝|B|＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2.9设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个.

2.10设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个.

2.11设A={a,b,c,d,e}，则A的一一变换共有______个.

2.12集合的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：

_____________________________________________。

2.13设A=｛a,b,c｝，那么A的所有不同的等价关系的个数为______________。

2.14设～是集合的元间的一个等价关系，它决定的一个分类：

是两个等价类。

则______________。

2.15设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么______________。

2.16设A=｛1,2,3,4,5,6｝，规定A的等价关系～如下：

a～b2|a-b，那么A的所有不同的等价类是______________。

2.17设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合，～是M上的合同关系，则由～给出M的所有不同的等价类的个数是______________。

2.18在数域F上的所有n阶方阵的集合M（F）中，规定等价关系A~B秩（A）=秩（B），则这个等价关系决定的等价类有________个。

2.19设M100（F）是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M100（F）中规定等价关系~如下：

A~B秩（A）=秩（B），则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。

2.20若M={有理数域上的所有3级方阵},A,B∈M,定义A~B⇔秩（A）=秩（B）,则由”~”确定的等价类有_____________________个。

3证明题：

3.1设是集合A到B的一个映射，对于，规定关系“~”：

．证明：

“~”是A的一个等价关系．

3.2在复数集C中规定关系“~”：

“~”是C的一个等价关系．

3.3在n阶矩阵的集合中规定关系“~”：

“~”是的一个等价关系．

3.4设“~”是集合A的一个关系，且满足：

（1）对任意，有；

（2）对任意，若就有．证明：

3.5设G是一个群，在G中规定关系“~”：

存在于，使得．证明：

“~”是G的一个等价关系．

第二章群论

§

2.1群的定义.

1.1设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：

（A）G对于这个乘法运算都是封闭的；

（B）∀a,b,cG，都有（ab）c=a（bc）成立；

（C）存在G，使得∀aG，都有ea=a成立；

（D）∀aG，都存在aG，使得aa=e成立。

则G关于这个乘法运算构成一个群。

（）

1.2设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：

A）G对于这个乘法运算是封闭的；

B）a,b,cG，都有（ab）c=a（bc）成立；

C）存在eG，使得aG，都有ae=a成立；

D）aG，都存在aG，使得aa=e成立。

1.3设G是一个非空集合,在G中定义了一个代数运算,称为乘法,如果

（1）G对乘法运算是封闭的

（2）G对乘法适合结合律（3）G对乘法适合消去律,则G构成群。

1.4设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法,如果

（1）.G对乘法运算是封闭的;

（2）.乘法适合结合律与消去律,则G对所给的乘法构成一个群。

1.5实数集R关于数的乘法成群。

1.6若G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶,则|a|。

1.7若 

|a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。

1.8设Q为有理数集，在Q上定义二元运算“”，ab=a+b+ab（）构成一个群。

2.2变换群、置换群、循环群

1.9一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。

1.10一个集合A的所有变换作成一个变换群G.（）

1.11集合A的所有的一一变换作成一个变换群。

1.12素数阶群都是交换群。

1.13p（p为质数）阶群G是循环群．（）

1.14素数阶的群G一定是循环群.（）

1.153次对称群是循环群。

1.16任意群都同构于一个变换群．（）

1.17有限群都同构于一个置换群。

1.18任何一个有限群都与一个循环群同构。

1.19在5次对称群中，（15）（234）的阶是6.（）

1.20在4次对称群S4中，（12）（324）的阶为6。

1.21在中，（12）（345）的阶是3。

1.22任意有限群都与一个交换群同构。

1.23因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。

1.246阶群是交换群。

（）。

1.254阶群一定是交换群。

1.264阶群一定是循环群。

1.27循环群一定是交换群。

1.28设G是群，a,b∈G,|a|=2,|b|=3,则|ab|=6。

1.2914阶交换群一定是循环群。

1.30如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。

1.31有理数加群Q是循环群。

1.32若一个循环群G的生成元的个数为2，则G为无限循环群。

2.3子群、不变子群。

1.33若H是群G的一个非空子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群。

1.34若H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群。

1.35循环群的子群也是循环群。

1.36如果群的子群是循环群，那么也是循环群。

1.37一个阶是11的群只有两个子群。

1.38有限群中每个元素的阶都整除群的阶。

1.39设G是一个n阶群，m|n，则G中一定有m阶子群存在。

1.40若G是60阶群,则G有14阶子群。

1.41设G是60阶群，则G有40阶子群。

1.42阶为100的群一定含25阶元。

1.43阶为100的群一定含25阶子群。

1.44阶为81的群G中，一定含有3阶元。

1.45设H是群G的一个非空子集，则。

1.46设H是群G的一个非空子集，则。

1.47群的子群是不变子群的充要条件为。

1.48群的一个子群元素个数与的每一个左陪集的个数相等.（）

1.49指数为2的子群不是不变子群。

1.50若NH,HG，则NG。

1.51若N是群G的不变子群,N是群N的不变子群,则N是G的不变子群。

1.52设H≤G，K≤G，则HK≤G。

1.53若NN，HG那么NHG。

2.4商群、群的同态定理。

1.54群之间的同态关系是等价关系。

1.55循环群的商群是循环群。

1.56设f：

是群到群的同态满射，a∈，则a与f（a）的阶相同。

1.57设G是有限群，H≤G，则。

1.58若是群G到的同态满射，N是G的一个不变子群，则（N）是的不变子群，且。

1.59设f是群G到群的同态映射，HG，则f（H）。

1.60设f是群G到群的同态映射，H≤G则f（H）≤。

1.61若是群G到的一个同态满射,N是G的一个不变子群,则（N）是的不变子群,且~。

1.62若是群G到的同态满射,是的一个不变子群,（）表示的原象,则（）是G不变子群,且。

1.63设G和都是群，,,N=（），则NG,且。

2.1在群G中，a，b∈G，a2=e，a－1ba=b2，则|b|=_________________。

2.2在交换群G中，a，b∈G，|a|=8，|b|=3，则|a－2b|=_________________。

2.3设a是群G的元,a的阶为6，则a4的阶为___________________。

2.4设a是群G中的一个8阶元,则a的阶为________。

2.5设G是交换群，a、bG,|a|=5,|b|=7,则|ab|=_____________。

2.6群AG中有_____个1阶元。

2.7在S5中，4阶元的个数为_____________。

2.8在S4中，3阶元的个数为_____________。

2.9设为群，，若，则_______________。

2.10设群G=｛e，a1，a2，…，an-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n=___.

2.11若a,b是交换群G中的5阶元和72阶元,则ab的阶为____________。

2.12在整数加群Z中，<

4>

∩<

6>

=_________________。

2.1310阶交换群G的所有子群的个数是_________________。

2.14阶数最小的非交换群的阶数是_________。

一个有限非可换群至少含有____________个元素.

2.15任意群G一定同构于G的一个_____________。

2.16n次对称群Sn的阶是_______。

2.179-置换分解为互不相交的循环之积是_______。

2.18n阶有限群G一定_____________置换群。

2.19每一个有限群都与一个__________群同构。

2.20已知为上的元素，则＝__________。

2.21给出一个5-循环置换，那么_________________。

2.22在4次对称群S4中，（134）2（312）-1=______.

2.23在4次对称群S4中，（24）（231）＝_____________，（4321）－1＝_____________，（132）的阶为_____________。

2.24在6次对称群S中,（1235）（36）=____________。

2.25（2431）=_________