定积分不等式证明方法讲座Word格式.docx

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上具有连续导数，如果

，求证

其中

为

上最小值，

证明在柯西不等式中，分别设函数为

，有

等式中

，这是由推广积分中值定理得到：

设

是

上恒大于等于零的连续函数，如果

上连续，则存在

例4

证明因为

，所以

由积分可加性，有

两边取定积分，得

例5设

上连续，且

，证明

证明左边不等式由柯西不等式得。

由条件

得

例6设

上连续周期函数，周期为1，如果

满足：

，且

以及取等号的条件。

证明由条件

利用离散柯西不等式，有

且取等式充分必要条件是：

，

即

所以

特别当

时，有

根据周期性，以及

所以取等号充分必要条件是

注本题并不是利用连续型柯西不等式方法证明结论，而是利用离散型柯西不等式方法证明结论，但问题是在利用柯西不等式时采用了“一般人”想不到的“技巧”，这种技巧并不明显。

确实柯西不等式形式上是简洁的，但对于什么样不等式，我们会想到采用柯西不等式来证明呢？

这才是问题的所在，回答它并不容易。

当然这地方可以避免使用离散型柯西不等式证明：

，而是利用导数方法证明。

二常数变异法将区间某端点看成变量（或者转换为变量），然后利用上限函数求导。

此类定积分不等式问题中，通常含有某些函数满足连续、单调条件，此时可以通过将上限或下限涉及到的常数符号，在整个不等式中换成与变量积分变量无关的变量，然后作辅助函数，再通过求导对辅助函数的单调性进行研究。

例1．设

上连续，且单调增加，证明

分析将定积分不等式视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明，将要证的不等式两端做差，并将上限

换成

，作辅助函数

如下

如果证明

，即证得原命题。

证明对

求导，得

由于

上单调增加，且因为

，所以有

，再根据定积分性质，有

由此知

上单调增加，则

，得

，得证。

上连续，

，且单调增加，证明存在

分析假设结论成立，则有

，而由上例知道，此不等式成立。

再由

单调增加，知

上满足

，则由推广积分中值定理有

，如此得

即可证明结论。

上有连续导数，且

求证

证明设辅助函数

则

，则

因为

严格单调递增，且

又因为

，所以得

，由此得：

所以有

，即得

注当

时，此题为94北方交通大学数学竞赛试题，美国数学竞赛试题。

例4设

上连续，如果对于任意在

上有一阶连续导数，且在

点取值为零的函数

，都满足

求证

可导，且

证明设

，则有

由条件得

下证，在

上

与

恒等。

采用反证法，如果存在

，使得

（同理可证

情况）

，则由连续性有，存在

，使得在

（或者

，或者

，下面仅对第一种情况说明）且在此区间上

构造函数

取常值，在

上取零，在

内单调递增，则在

上有

由此由定积分性质得

矛盾。

所以得在

恒等，即证得题中命题。

三微分中值定理方法当题目条件含有一阶以上连续导数时，可考虑微分中值定理证明方法。

例1（前苏联竞赛题）设

上有一阶连续导数，

上的最大值。

证明利用拉格朗日中值定理得：

则由定积分性质得

习题1.设

2.（1985陕西省高校数学竞赛试题）设

上有一阶连续导数，满足

解由已知条件有

由此

.

得证。

3.（前苏联竞赛试题）在区间

是否存在函数

使其有一阶连续导数，且满足：

，

解利用题2，有

如果存在

矛盾，所以

；

同理

但此时

处不可导，矛盾。

由此不存在这样函数。

4.在区间

5.设

上存在连续的

阶导数，且有

则存在

四凹凸性利用当题目条件给出

二阶导数符号时，可考虑函数凹凸性方法

上有二阶连续导数，且在

证明因为在

，所以函数为凹函数，即对于任意

有

五重积分法

对含有

形式的不等式可考虑将

转化为

形式。

然后再利用相关性质进行证明。

上的单调增加的连续函数，如果

，证明

证明将不等式通分变形为

转化为分次积分

同理有

将所得两式相加有

由已知条件，得

，所以原不等式成立。

例2（柯西不等式）设

证明

例3（98北京信息工程大学试卷）设

上有一阶连续导数，求证

上连续，如果

上无零点，则在

上取值同号，由此有

如果存在

，所以有：

例4求证

取