高等数学多元函数微分学Word下载.docx
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6、双叶双曲面
7、二次锥面
圆锥面
8、柱面抛物柱面
椭圆柱面
圆柱面
60空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程(以后讲)
一般式
曲线
在三坐标面上投影方程
在x0y面上投影曲线方程:
在
中消去z,再与z=0联立。
多元函数微分学
10二元函数及其极限与连续
1、
,定义域为平面上某一个平面域
几何上
为空间一张曲面。
2、二元函数极限P186
例1、讨论函数
极限是否存在。
解:
而
∴
在(0,0)极限不存在.
3、连续P187
20多元函数的偏导数与全微分
1、偏导数
定义:
处对x的偏导数,
记作:
即:
同理:
存在,称
可导。
例2、P188,例5,6
设
2、高阶偏导数
连续,则
3、全微分
如
可微
全微分
↗可导
↘连续
偏导数
连续→可微
例3、设
则
例4、由方程
确定
在点
全微分
30复合函数微分法
定理:
P194
z=f(u.v)u=u(x.y.)v=v(x.y)z=f(u,v)=F(x.y)
例5、P195,例5.14
设z=(1+x2+y2)xy求
例5.15解
,
例7、
,其中
可微,则
例8、
可微,则
例9、设
,求证
证:
令
则
例10、设
,其中
二阶可导,
具有二阶连续偏导数。
求
例11、设
,试将方程
变换成以
为自变量的方程,其中函数
于是方程变为:
40隐函数求导
确定了
求
(1)方程两边同时对
求导,注意
,可求得
方程两边同时对
(2)利用公式
(3)两边微分
用
(2),(3)需具体方程给出,容易
例12、设
由方程
,求
解法一、在方程两边对x求导,注意
解法二、设
解法三、在方程两边微分
即
例13、设
由方程
确定,其中
例14、已知方程
定义了
(或方程两边对
)
在方程
两边对
求导,
在
(1)式两边对x求导
法二:
例15、习题7
设
都具有一阶连续偏导数,且
,求
,两边对
求导,设
例16、P200,例:
5.20
50一阶偏导数在几何上的应用
1、空间曲线的切线与法平面
曲线L:
(Ⅰ)
(Ⅱ)
曲线L在M0点处切线方程为:
或
例17、P204,例5.24,例5.25
例5.25法二
两边微分
取
∴切线方程
例19、求曲线
点处切线方程
法一
代入
∴切线方程:
2、空间曲面的切平面与法线
曲面方程:
则曲面在
点处切平面方程:
如曲面方程
则切平面方程:
法线方程:
例20、曲面
在(2,1,3)处的法线方程
例21、P203,例5.22
例22、曲线
绕y轴旋转一周得到的旋转面在点
处的指向外侧单位法向量是
例23、证明:
曲面
的切平面与坐标轴所围成的四面体体积为常数
证:
设切点为
曲面在M(x0,y0,z0)处切平面:
四面体体积
3、方向导数与梯度
方向导数:
,可微
或:
分析:
设:
则
为函数
处梯度
记为:
gradu
即
P20P20例5.26例5.29
例P220,习题19
gradu(M0)=
取M0处法向量为