MSDC初中数学中考冲刺第05讲教师版Word格式.docx
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，
∴5＜
＜9．
∵
为奇数，∴
【例3】若
为正整数且关于
有两个不同的正整数根，求
【答案】由求根公式可得
∵方程的两个根均为正整数，且不相同
为正整数，∴
的值为
、
，又∵
题型二：
数形结合思想
数形结合思想是中考第23题常考的一种基本思想，常常会涉及到函数与方程、不等式的基本思想。
【例4】已知：
⑴求证：
方程有两个实数根；
⑵设
，且方程的两个实数根分别为
（其中
），若
是关于
的函数，
＝
，求这个函数的解析式；
⑶在⑵的条件下，利用函数图象求关于
的解
【答案】⑴∵
∵无论
取何值时，都有
，∴方程有两个实数根
⑵方程的两个实数根分别为
⑶关于
的解是
【例5】已知：
．
无论
为任何实数，方程总有实数根；
⑵抛物线
与
轴交于
两点，
在原点左侧，
在原点右侧，且
，请确定抛物线的解析式；
⑶将⑵中的抛物线沿
轴方向向右平移2个单位长度，得到一个新的抛物线，请结合函数图象回答：
当直线
与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数
的取值范围．
【答案】
（1）证明：
为任何实数时，
即：
无论为任何实数，方程总有实数根．
⑵由题意得，
解得，
⑶由图象可知，两个图象交于
当
时，直线
与这两条抛物线有且只有四个交点．
【例6】已知：
取任何实数时，方程总有实数根；
⑵若二次函数
的图象关于
轴对称．
①求二次函数
的解析式；
②已知一次函数
，证明：
在实数范围内，对于
的同一个值，这两个函数所对应的函数值
均成立；
⑶在⑵条件下，若二次函数
的图象经过点
，且在实数范围内，对于
的同一个值，这三个函数所对应的函数值
，均成立，求二次函数
的解析式
【答案】⑴分两种情况：
时，原方程化为
，解得
，∴当
，原方程有实数根．
时，原方程为关于
的一元二次方程，
∵
．∴原方程有两个实数根．
综上所述，
取任何实数时，方程总有实数根．
⑵①∵关于
的二次函数
轴对称，
．∴
．∴抛物线的解析式为
．
②∵
（当且仅当
时，等号成立）．
⑶由②知，当
时，
的图象都经过
∵对于
的同一个值，
的图象必经过
经过
设
均成立，∴
又根据
的图象可得
．而
．只有
∴抛物线的解析式为
【例7】已知关于
的一元二次方程
⑴若此一元二次方程有实数根，求
⑵若关于
和
轴上的点
，求
的值；
⑶在⑵的条件下，将二次函数
的图象先沿
轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数
的图象．请你直接写出二次函数
的解析式，并结合函数的图象回答：
取何值时，这个新的二次函数
的值大于二次函数
的值
【答案】⑴根据题意，得
解得
的取值范围是
.
关于x的二次函数
的图象都经过x轴上的点
解得
当n=－1时，
，解得m=－3．
⑶
．当x的取值范围是
时，二次函数
【例8】已知：
关于x的一元二次方程
有两个整数根，
⑴求m的值；
⑵当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数
的图象沿x轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；
⑶当直线
与⑵中的两条抛物线有且只有三个交点时，求b的值
∴△=
0，且为完全平方数．
∵m<
5且m为整数，∴
∴m=0或4
⑵当m=0时，方程的根为
；
时，方程的根为
∵方程有两个非零的整数根，
∴m=4．∴二次函数
的解析式是
将
的图象沿x轴向左平移4个单位长度得到：
∴平移后的二次函数图象的解析式为
与⑵中的两条抛物线有且只有三个交点时，可知直线与平移后的抛物线只有一个交点或者过两条抛物线的交点
①当直线
与平移后抛物线只有一个交点时，由
得方程
，即
，∴
②当直线
过点
综上所述，当直线
与⑵中的两条抛物线有且只有三个交点时，
或
题型三：
函数图象的几何变换
函数图象的平移，旋转以及对称变换，因此熟练的掌握函数的图象性质以及图象有关变换，对解决此类问题至关重要。
【例9】已知：
⑴若方程有两个不相等的实数根，求
⑵在⑴的条件下，求证：
取何值，抛物线
总过
轴上的一个固定点；
⑶若
为正整数，且关于
有两个不相等的整数根，把抛物线
向右平移4个单位长度，求平移后的抛物线的解析式
【答案】⑴∵有两个不相等的实数根
＞0∴
⑵证明：
令
得，
∴抛物线与
轴的交点坐标为（
），（
）
∴无论
取何值，抛物线y=
轴上的定点（
⑶∵
是整数∴只需
是整数.
是正整数，且
.当
时，抛物线为
把它的图象向右平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为
【例10】已知：
①．
方程①有两个实数根;
⑵求证：
方程①总有一个整数根;
⑶设方程①的另一个根为
，若
为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于
⑷在⑶的条件下，把
放在坐标系内，其中
，点
的坐标分别为
，将
沿
轴向右平移，当点
落在抛物线上时，求
平移的距离．
∴方程①有一个实数根为
⑶由题意可知：
方程①的另一个根为
，
为正整数且方程①有两个不相等的整数根∴
∴二次函数的解析式：
⑷由题意可知：
，由勾股定理得：
点的坐标为
轴向右平移，此时设
在抛物线上，∴
舍去负值．
平移的距离：
题型四：
方程与不等式的基本思想
方程与不等式的基本思想也是今几年来各区模拟考试的一个方程，主要涉及到“等式”“不等式”之间的转化，“消元”与“整体代入”是基本思想
【例11】已知:
的一元一次方程
①的根为正实数，二次函数
（
）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．
⑴若方程①的根为正整数，求整数k的值；
⑵求代数式
⑶求证:
关于x的一元二次方程
②必有两个不相等的实数根．
【答案】⑴由kx=x+2，得
．依题意
．∴
∵方程的根为正整数，k为整数，∴
⑵依题意，二次函数
=
⑶方程②的判别式为
，由
得
∴方程②有两个不相等的实数根
【例12】阅读下列材料：
若关于x的一元二次方程
的两个实数根分别为
x1，x2，则
解决下列问题：
已知：
a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，关于x的一元二次方程
有两个实数根，其中一根为2．
⑴填空：
0，a0，c0；
（填“＞”，“＜”或“＝”）
⑵利用阅读材料中的结论直接写出方程
的另一个实数根（用含a，c的代数式表示）；
⑶若实数m使代数式
的值小于0，问：
当x=
时，代数式
的值是否为正数？
写出你的结论并说明理由．
【答案】⑴＝，＞，＜．
⑶答：
的值是正数．理由如下：
设抛物线
）则由题意可知，它经过
两点．
∵
∴抛物线
开口向上，且
，即点
在点
左侧．
设点
的坐标为
∵代数式
的值小于0，
∴点
在抛物线
上，且点
的纵坐标为负数．
在
轴下方的抛物线上．（如图5）
∴
以下判断
的大小关系：
＝0，
．∵
两点都在抛物线的对称轴的右侧，
随
的增大而增大，
∴当
的值是正数．
【例13】已知：
抛物线与
，与
⑴求抛物线顶点
的坐标；
⑵设直线
交
轴于点
，过点
作
轴的垂线，交直线
于点
，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段
总有公共点．试探究：
抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？
【答案】⑴设抛物线解析式为
点坐标为
，∴解析式为
，顶点
坐标为
（2）直线
解析式为
.则
∴直线
若抛物线向下移
个单位，其解析式
由
消去
得
∵△=
，∴向下最多可平移
个单位.
若抛物线向上移
方法一：
要使抛物线与
有公共点，则
方法二：
当平移后的抛物线过点
时，解得
当平移后的抛物线过点
由题意知：
抛物线向上最多可以平移36个单位长度
综上，要使抛物线与
有公共点，向上最多可平移36个单位，向下最多可平移
个单位.
【例14】抛物线
⑵抛物线经过点
①判断
的符号；
②若抛物线与
轴的两个交点分别为点
（点
左侧），请说明
【答案】⑴∵
．∵a＞0，c＜
0，
⑵∵抛物线经过点P
点Q
，∴
①∵
，a＞0，c＜0，∴
＜0．
＞0．∴
②由a＞0知抛
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