三角函数最值或值域的求法.doc

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三角函数最值或值域的求法

三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。

类型一：

利用这一有界性求最值。

例1：

求函数的值域。

解：

由变形为，知，则有，由，则此函数的值域是

类型二：

型。

此类型通常可以可化为求其最值（或值域）。

例2：

求函数（）的最值。

解法1：

，∴函数的最大值为，最小值为。

分析2：

运用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ

解法2：

∴函数的最大值为，最小值为。

分析3：

观察发现角与角的差恰好为，故将看成基本量，将函数化归为同一角的函数式。

解法3：

（运用和差化积公式）

∴函数的最大值为，最小值为。

类型三：

型。

此类型可化为在区间上的最值问题。

例3：

求函数（）的最值

分析：

转化为一个角的同一种函数sinx，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。

解：

∴函数的最大值为，最小值为

例4：

求函数（，）的最大值。

解：

转化为配方得：

①当，即时，在sinx=1，即时，

②当时，即时，在sinx=－1，即时，

③当，即时，在，即

或时，

综上：

类型四：

型。

此类型可利用倍角公式、半角公式进行降次、整理，再利用辅助角公式求出最值。

例5：

求函数的最值，并求取得最值时x的值。

分析：

先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。

解：

由降幂公式和倍角公式，得

∵，∴，∴

∴的最小值为，此时，无最大值。

类型五：

型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：

①转化为再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。

例6：

求函数的值域。

解法1：

数形结合法：

求原函数的值域等价于求单位圆上的点P（cosx,sinx）与定点Q（2,0）所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为、。

结合图形可知，此函数的值域是。

解法2：

将函数变形为，∴由，解得：

，故值域是

解法3：

利用万能公式求解：

由万能公式，，代入得到则有知：

当，则，满足条件；当，由，，故所求函数的值域是。

解法4：

利用重要不等式求解：

由万能公式，，代入得到当时，则，满足条件；当时，，如果t>0，则，此时即有；如果t<0，则，此时有。

综上：

此函数的值域是。

类型六：

含有的最值问题。

解此类型最值问题通常令，，，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。

例7：

求函数的最大值并指出当x为何值时，取得最大值。

解法1：

，当sin2x=1，且，即，解得，

解法2：

设t=sinx+cosx，则∴∴

∴

∵当时，函数y是减函数∴

∵当时，函数y是增函数∴

∴即

当时，，即，

解得，∴时，。

类型七：

形如或型函数最值问题。

构造条件并利用均值不等式求解。

例8：

求下列函数的量值并说明当x为何值时，取得最值。

（1）；

（2），；

分析：

观察发现可以用重要不等式求其最值。

解

（1）∵，，∴当且仅当，即时，等号成立，∴，，即当时，y有最小值，最小值为4，没有最大值。

（2）∵∴，

∴，∴

当且仅当时等号成立，∵时，显然，∴可得，即，解，

∴当时，，∵，∴

∴当，y有最大值，y无最小值。

类型九：

条件最值问题。

例9：

已知，求的取值范围。

分析：

用函数的思想分析问题，这是已知关于sinα，sinβ的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。

解：

∵，∴∵

∴

∵∵。

∴sinα=0时，；时，∴。

例10：

求函数的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。

解：

∵定义域为0≤x≤1，可设且

，

∴

∵，∴，∴即

∴当或，即θ=0或（此时x=1或x=0），y=1；

当，即时，（此时），，

当x=0或x=1时，y有最小值1；当时，y有最大值。

评析：

利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。

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