k中考数学试题分类汇编代数几何综合.doc
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2013中考全国100份试卷分类汇编
代数几何综合
1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线平分四边形的面积，求的值.
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？
若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
答案：
（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A（-1，0）,B（3，0）,
由点D（2，1.5）在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,
又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.
（2）由
（1）知，令x=0,得c（0,1.5）,所以CD//AB,
令kx-2=1.5,得l与CD的交点F（），
令kx-2=0，得l与x轴的交点E（），
根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：
OE+CF=DF+BE,
即：
（3）由
（1）知
所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为
假设在y轴上存在一点P（0，t），t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1,
所以,………………
（1）
不妨设M（xM,yM）在点N（xN,yN）的左侧，因为P点在y轴正半轴上，
则
（1）式变为,又yM=kxM-2,yN=kxN-2,
所以（t+2）（xM+xN）=2kxMxN,……
（2）
把y=kx-2（k≠0）代入中，整理得x2+2kx-4=0,
所以xM+xN=-2k,xMxN=-4,代入
（2）得t=2,符合条件，
故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称.
考点：
本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.
点评：
本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。
问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。
2、（绵阳市2013年）A
B
C
D
O
x
y
l
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：
x=m（m＞1）与x轴交于D。
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在
（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？
如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
解：
（1）①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为（0，-2），c=-2,-,b=0,
点A（-1,0）、点B是二次函数y=ax2-2的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2.二次函数的解析式为y=2x2-2；
②点B与点A（-1,0）关于直线x=0对称，点B的坐标为（1，0）；
（2）∠BOC=∠PDB=90º，点P在直线x=m上，
设点P的坐标为（m,p）,OB=1，OC=2，DB=m-1,DP=|p|，
①当△BOC∽△PDB时，,,p=或p=,
点P的坐标为（m，）或（m，）；
②当△BOC∽△BDP时，，，p=2m-2或p=2-2m,
点P的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；
综上所述点P的坐标为（m，）、（m，）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；
（3）不存在满足条件的点Q。
点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上，
令点Q的坐标为（x,2x2-2），x>1,过点Q作QE⊥直线l,
垂足为E，△BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB，
∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD，
①当P的坐标为（m，）时，
m-x=，m=0m=1
2x2-2-=m-1,x=x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
②当P的坐标为（m，）时，
x-m=m=-m=1
2x2-2-=m-1,x=-x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
③当P的坐标为（m，2m-2）时，
m-x=2m-2m=m=1
2x2-2-（2m-2）=m-1,x=-x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
④当P的坐标为（m，2-2m）时，
x-m=2m-2m=m=1
2x2-2-（2-2m）=m-1x=-x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
综上所述，不存在满足条件的点Q。
3、（2013•昆明压轴题）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x﹣2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；
（3）存在，分两种情况考虑：
如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，将y=﹣代入得：
﹣=﹣x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标．
解答：
解：
（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：
E（2，3），
设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，
将A（4，0）坐标代入得：
0=4a+3，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（4，0）与C（0，3）代入得：
，
解得：
，
故直线AC解析式为y=﹣x+3，
与抛物线解析式联立得：
，
解得：
或，
则点D坐标为（1，）；
（3）存在，分两种情况考虑：
①当点M在x轴上方时，如答图1所示：
四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，
由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，
∴N1（2，0），N2（6，0）；
②当点M在x轴下方时，如答图2所示：
过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP=DQ=，NP=AQ=3，
将yM=﹣代入抛物线解析式得：
﹣=﹣x2+3x，
解得：
xM=2﹣或xM=2+，
∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1，
∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．
综上所述，满足条件的点N有四个：
N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．
点评：
此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：
待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题．
4、（2013陕西）（第24题图）
y
-1
O
x
2
-1
1
1
2
3
-2
3
在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数的对称轴；
（2）设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，
它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，
当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式。
[提示：
如果一个二次函数的图象与x轴的交点
为A，那么它的表达式可表示
为：
]
考点：
此题在陕西的中考中也较固定，第
（1）问主要考查待定
系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，
抛物线的对称性等简单问题。
第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等等问题。
考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程。
解析：
本题中
（1）由抛物线的轴对称性可知，与x轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴；
（2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D与E的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题；
解：
（1）对称轴为直线：
x=2。
（2）∵A（1，0）、B（3，0），所以设即
当x=0时，y=3a，当x=2时，y=
∴C（0，3a），D（2,-a）∴OC=|3a|,
∵A（1，0）、E（2，0），
∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a|
在△AOC与△DEB中，
∵∠AOC=∠DEB=90°
∴当时，△AOC∽△DEB
∴时，解得或
当时，△AOC∽△BED
∴时，此方程无解，
综上所得：
所求二次函数的表达式为：
或
5、（2013成都市压轴题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（b,c为常数）的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4,3），直角顶点B在第四象限。
（1）如图，若该抛物线过A,B两点，求抛物线的函数表达式；
（2）平
（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.
i）若点M在直线AC下方，且为平移前
（1）中的抛物线上点，当以M,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出所有符合条件的M的坐标；
ii）取BC的中点N,连接NP,BQ。
试探究是否存在最大值？
若存在，求出该最大值；所不存在，请说明理由。
解析：
（1）A（0,-1）C（4,3） 则｜AC｜=
ABC为等腰直角三角形∴AB=BC=4
∴B点（4,-1）将A,B代入抛物线方程有
⇒
∴
（2）当顶点P在直线AC上滑动时，平移后抛物线与AC另一交点Q就是A点沿直线AC滑动同样的单位。
下面给予证明：
原抛物线顶点P为（2,1）
设平移后顶点P为（a,a-1）,则平移后抛物线联立y=x-1（直线AC方程）
得Q点为（a-2,a-3）
∴｜PQ｜=即实际上是线段AP在直线AC上的滑动.
ⅰ）点M在直线AC下方，且M,P,
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