届高考数学一轮复习备考讲义人教A版23 函数的奇偶性与周期性Word版含答案Word格式.docx

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对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．

（2）最小正周期：

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

知识拓展

1．函数奇偶性常用结论

（1）如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）．

（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；

偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

（3）在公共定义域内有：

奇±

奇＝奇，偶±

偶＝偶，奇×

奇＝偶，偶×

偶＝奇．

2．函数周期性常用结论

对f（x）定义域内任一自变量的值x：

（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a>

0）．

（2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a>

（3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a>

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．（　×

　）

（2）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称．（　√　）

（3）函数f（x）在定义域上满足f（x＋a）＝－f（x），则f（x）是周期为2a（a>

0）的周期函数．（　√　）

（4）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．（　√　）

（5）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期．（　√　）

题组二　教材改编

2．[P39A组T6]已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x（1＋x），则f（－1）＝_____.

答案　－2

解析　f

（1）＝1×

2＝2，又f（x）为奇函数，

∴f（－1）＝－f

（1）＝－2.

3．[P45B组T4]设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1）时，f（x）＝则f＝______.

答案　1

解析　f＝f＝－4×

2＋2＝1.

4．[P39A组T6]设奇函数f（x）的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为________．

答案　（－2,0）∪（2,5]

解析　由图象可知，当0＜x＜2时，f（x）＞0；

当2＜x≤5时，f（x）＜0，又f（x）是奇函数，

∴当－2＜x＜0时，f（x）＜0，当－5≤x<

－2时，f（x）>

0.

综上，f（x）＜0的解集为（－2,0）∪（2,5]．

题组三　易错自纠

5．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　）

A．－B.C．－D.

答案　B

解析　依题意得f（－x）＝f（x），∴b＝0，又a－1＝－2a，

∴a＝，∴a＋b＝，故选B.

6．偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（3）＝3，则f（－1）＝________.

答案　3

解析　∵f（x）为偶函数，∴f（－1）＝f

（1）．

又f（x）的图象关于直线x＝2对称，

∴f

（1）＝f（3）．∴f（－1）＝3.

题型一　判断函数的奇偶性

典例判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝＋；

（2）f（x）＝；

（3）f（x）＝

解　

（1）由得x2＝3，解得x＝±

，

即函数f（x）的定义域为{－，}，

∴f（x）＝＋＝0.

∴f（－x）＝－f（x）且f（－x）＝f（x），

∴函数f（x）既是奇函数又是偶函数．

（2）由得定义域为（－1,0）∪（0,1），关于原点对称．

∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f（x）＝.

又∵f（－x）＝＝＝－f（x），

∴函数f（x）为奇函数．

（3）显然函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．

∵当x＜0时，－x＞0，

则f（－x）＝－（－x）2－x＝－x2－x＝－f（x）；

当x＞0时，－x＜0，

则f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x＝－f（x）；

综上可知：

对于定义域内的任意x，总有f（－x）＝－f（x），

思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系．

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数）是否成立．

跟踪训练

（1）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）

A．y＝x＋sin2xB．y＝x2－cosx

C．y＝2x＋D．y＝x2＋sinx

答案　D

解析　对于A，f（－x）＝－x＋sin2（－x）＝－（x＋sin2x）＝－f（x），为奇函数；

对于B，f（－x）＝（－x）2－cos（－x）＝x2－cosx＝f（x），为偶函数；

对于C，f（－x）＝2－x＋＝2x＋＝f（x），为偶函数；

对于D，y＝x2＋sinx既不是偶函数也不是奇函数，

故选D.

（2）函数f（x）＝loga（2＋x），g（x）＝loga（2－x）（a>

0且a≠1），则函数F（x）＝f（x）＋g（x），G（x）＝f（x）－g（x）的奇偶性是（　　）

A．F（x）是奇函数，G（x）是奇函数

B．F（x）是偶函数，G（x）是奇函数

C．F（x）是偶函数，G（x）是偶函数

D．F（x）是奇函数，G（x）是偶函数

解析　F（x），G（x）定义域均为（－2,2），

由已知F（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝loga（2－x）＋loga（2＋x）＝F（x），

G（－x）＝f（－x）－g（－x）＝loga（2－x）－loga（2＋x）＝－G（x），

∴F（x）是偶函数，G（x）是奇函数．

题型二　函数的周期性及其应用

1．（2017·

西安一模）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x＋1）为偶函数，且f

（1）＝2，则f（4）＋f（5）的值为（　　）

A．2B．1C．－1D．－2

答案　A

解析　∵f（x＋1）为偶函数，

∴f（－x＋1）＝f（x＋1），则f（－x）＝f（x＋2），

又y＝f（x）为奇函数，则f（－x）＝－f（x）＝f（x＋2），且f（0）＝0.

从而f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），y＝f（x）的周期为4.

∴f（4）＋f（5）＝f（0）＋f

（1）＝0＋2＝2.

2．（2017·

山东）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2）．若当x∈[－3,0]时，f（x）＝6－x，则f（919）＝_____.

答案　6

解析　∵f（x＋4）＝f（x－2），

∴f（（x＋2）＋4）＝f（（x＋2）－2），即f（x＋6）＝f（x），

∴f（x）是周期为6的周期函数，

∴f（919）＝f（153×

6＋1）＝f

（1）．

又f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f

（1）＝f（－1）＝6，即f（919）＝6.

3．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x），当－3≤x<

－1时，f（x）＝－（x＋2）2；

当－1≤x<

3时，f（x）＝x.则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2018）＝________.

答案　339

解析　∵f（x＋6）＝f（x），∴周期T＝6.

∵当－3≤x<

3时，f（x）＝x，

∴f

（1）＝1，f

（2）＝2，f（3）＝f（－3）＝－1，

f（4）＝f（－2）＝0，f（5）＝f（－1）＝－1，

f（6）＝f（0）＝0，

∴f

（1）＋f

（2）＋…＋f（6）＝1，

∴f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2015）＋f（2016）＝1×

＝336.

又f（2017）＝f

（1）＝1，f（2018）＝f

（2）＝2，

∴f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2018）＝339.

思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．

题型三　函数性质的综合应用

命题点1　求函数值或函数解析式

典例

（1）（2017·

全国Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，则f

（2）＝________.

答案　12

解析　方法一　令x＞0，则－x＜0.

∴f（－x）＝－2x3＋x2.

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（－x）＝－f（x）．

∴f（x）＝2x3－x2（x＞0）．

∴f

（2）＝2×

23－22＝12.

方法二　f

（2）＝－f（－2）＝－[2×

（－2）3＋（－2）2]＝12.

（2）（2016·

全国Ⅲ改编）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则f（x）＝________.

答案　

解析　∵当x＞0时，－x＜0，

∴f（x）＝f（－x）＝ex－1＋x，

∴f（x）＝

命题点2　求参数问题

典例

（1）若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝__________.

解析　∵f（－x）＝f（x），

∴－xln（－x）＝xln（x＋），

∴ln[（）2－x2]＝0.

∴lna＝0，∴a＝1.

（2）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f（x）＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．

答案　－10

解析　因为f（x）是定义在R上且周期为2的函数，

所以f＝f且f（－1）＝f

（1），

故f＝f，

从而＝－a＋1，

即3a＋2b＝－2.①

由f（－1）＝f

（1），得－a＋1＝，

即b＝－2a.②

由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.

命题点3　利用函数的性质解不等式

安阳模拟）已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）＝－ln（1－x），函数f（x）＝若f（2－x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）∪（2，＋∞）B．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

C．（1,2）D．（－2,1）

解析　∵g（x）是奇函数，

∴x＞0时，g（x）＝－g（－x）＝ln（1＋x），

易知f（x）在R上是增函数，

由f（2－x2）＞f（x），可得2－x2＞x，

即x2＋x－2＜0，∴－2＜x＜1.

（2）已知f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f

（1）<

1，f（5）＝，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－1,4）B．（－2,0）

C．（－1,0）D．（－1,2）

解析　∵f（x）是定义在R上的周期为3的偶函数，

∴f（5）＝f（5－