排列与组合的应用Word文件下载.docx
《排列与组合的应用Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列与组合的应用Word文件下载.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
从k个不同元素{a1a2…ak}中取n个元素按次序排列，元素ai可以取ri次,r1+r2+...+rk=r，这样的排列称为有限重排列。
实际上,这个问题与下面的问题等价：
把r（r1+r2+...+rk=r）只彩色球放到n个编号不同的盒子中去的方法数
如r=n,则排列数有
（5）错排问题
一个排列使得所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。
例如有3个元素，原来位置为：
123，它的错排有两种312和231。
用f[n]表示n个元素的错排数，利用容斥原理可以推出（过程略）：
f[n]=
主要讲一下递推式。
考虑任意一个满足条件的排列a1,a2,a3,…,an,显然有an≠n,不妨设n=ai,考虑书i的位置，它有两种情况：
1）i=an
2）i≠an
对于1），数i在位置n,而数n在位置i上，则是n-2的错排问题，这种情况的方法数为f[n-2]。
对于２），可以把位置n看成位置i（位置i上不放数i,而此时位置n也不放数i，所以i和n可以等同看待）,则问题成了n-1个数的错排问题了。
由1）与2）及i有n-1种取值，所以有f[n]=（n-1）（f[n-2]+f[n-1]）。
：
2．组合及公式
（1）非重组合
一般地，从n个不同元素中，取出m（m≤n）个元素，不允许元素重复，不考虑元素次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个非重组合；
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号
表示.
组合数的两个性质：
（2）重组合
从n个不同元素中,取出r个允许重复的元素而不考虑其次序时，称为从n个不同元素中取r个允许重复的组合，简称重组合。
其组合数为
.
这个问题，可以看作用r个相同的标记去标明这n个不同的对象，而每一个对象可以被标上多个标记，一个对象上最多r个标记。
设n个元素为{a1a2…an}，记ai被记了k次为ai（k）,同一个元素标记不同次数，认为是不同的元素，那么第1次标记有n种方法，有n+1个元素{a1a2…anai（k）},第2次标记就有n+1种方法，有n+2个元素，……第r次标记有n+r-1种方法，有n-r个元素，而标记顺序对结果没有影响，所以有
种方法，即
二、排列与组合生成算法
1.排列生成
有N本不同的书摆在书架上，设其编号分别为１，２，３，......，Ｎ，编程求解这Ｎ本书的不同摆放方案和摆放方案总数。
程序名：
pailie.pas/c/cpp 输入文件：
pailie.in 输出文件：
pailie.out
输入文件的格式为：
仅为一个数N
输出文件的格式为：
依次为每一行为一种方案,每个数之间用一个空格隔开，最后一行为方案数
样例
input
2
output
12
21
数据规模 1=<
N<
=10
说明，排列方案字典顺序小的在前。
分析：
本题要求出所有具体方案，所以用不着排列公式来计算方案数。
生成排列方案的过程中可以统计出方案总数。
（１）按字典序生成排列法（根据上一个排列产生下一个排列）。
该算法的Ｎ—Ｓ流程图如图１。
Pascal版参考程序：
programpailie;
var
s,j,t,i,k,n:
Longint;
a:
array[1..10]oflongint;
functionfi:
longint;
i:
begin
=n;
while（i>
1）and（a[i-1]>
a[i]）dodec（i）;
fi:
=i;
end;
functionfk:
k:
while（k>
1）and（a[k]<
a[i-1]）dodec（k）;
fk:
=k;
procedureprint;
inc（s）;
fori:
=1ton-1dowrite（a[i],'
'
）;
writeln（a[n]）;
begin
assign（input,'
pailie.in'
assign（output,'
pailie.out'
reset（input）;
rewrite（output）;
readln（n）;
=1tondoa[i]:
s:
=0;
print;
=fi;
whilei>
1do
=fk;
t:
=a[i-1];
a[i-1]:
=a[k];
a[k]:
=t;
forj:
=ito（n+i）div2do
=a[n+i-j];
a[n+i-j]:
=a[j];
a[j]:
writeln（s）;
close（input）;
close（output）;
end.
（２）回溯算法产生排列
用p[i]记录一个排列的第i个数，
伪代码描述的产生排列的第i个数的方法
Proceduretry（i）
Begin
Ifi>
nthenbegin输出排列；
返回 end;
//产生了一个完整排列，输出
Forj=1tondo
Ifnota[j]then //j这个数没有用
Begin
P[i]=j;
A[j]=true;
//占位
Try（i+1）;
//搜索下一个数
End;
var
p:
array[1..10]oflongint;
array[1..10]ofboolean;
n,tot,i:
fil:
text;
procedureprint;
inc（tot）;
=1tondo
write（fil,p[i],'
writeln（fil）;
proceduretryy（i:
longint）;
j:
ifi>
nthenbeginprint;
exitend;
ifnota[j]then
=true;
p[i]:
=j;
tryy（i+1）;
=false;
assign（fil,'
reset（fil）;
readln（fil,n）;
close（fil）;
rewrite（fil）;
fillchar（a,sizeof（a）,false）;
tot:
tryy
（1）;
writeln（fil,tot）;
C语言版参考程序：
#include<
stdio.h>
longa[15],n,s;
boolf[15];
FILE*fp;
voidshu（longa[]）
{
longi;
for（i=1;
i<
i++）
fprintf（fp,"
%d"
a[i]）;
\n"
s++;
}
voidpai（longi）
longj,k;
if（i==n+1）{shu（a）;
return;
}
for（j=1;
j<
j++）
if（f[j]）{f[j]=false;
a[i]=j;
pai（i+1）;
f[j]=true;
}
intmain（）
longi,j,k,m;
fp=fopen（"
pailie.in"
"
r"
fscanf（fp,"
%d"
&
n）;
pailie.out"
w"
i++）f[i]=true;
s=0;
pai
（1）;
%d\n"
s）;
fclose（fp）;
return0;
2.组合生成
有N本不同的书摆在书架上，设其编号分别为１，２，３，......，Ｎ，现要从其中取出Ｒ本书，编程求解这Ｎ本书的不同组合方案和方案总数。
zuhe.pas/c/cpp 输入文件：
zuhe.in 输出文件：
zuhe.out
仅为一行，两个数N和Ｒ，之间用一个空格隔开
依次为每一行为一种组合,每个数之间用一个空格隔开，最后一行为组合方案数
32
13
23
3
N，R<
=30
说明，每一种组合，从小到大排列；
组合方案字典顺序小的在前
本题要求出所有具体方案，所以用不着组合公式来计算方案数。
生成组合方案的过程中可以统计出方案总数。
（1）根据上一个组合产生下一个组合。
该算法的Ｎ—Ｓ流程图如图2。
programzuhe;
c:
array[1..30]oflongint;
n,r,i,j,tot:
=1tordo
write（fil,c[i],'
functionfindi:
=r;
while（
升级会员 