高三数学理二轮复习专题二函数的图象与性质Word格式.docx

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（1）f（x）为奇函数⇔f（－x）＝－f（x）⇔f（－x）＋f（x）＝0；

f（x）为偶函数⇔f（x）＝f（－x）＝f（|x|）⇔f（x）－f（－x）＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．

（2）f（x）是偶函数⇔f（x）的图象关于y轴对称；

f（x）是奇函数⇔f（x）的图象关于原点对称．

（3）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；

偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．

（4）若f（x＋a）为奇函数⇒f（x）的图象关于点（a，0）中心对称；

若f（x＋a）为偶函数⇒f（x）的图象关于直线x＝a对称．

（5）在f（x），g（x）的公共定义域上，奇±

奇＝奇，偶±

偶＝偶，奇×

奇＝偶，偶×

偶＝奇．

4．函数的周期性

（1）若y＝f（x）在x∈R时，f（x＋a）＝f（x－a）恒成立，则函数f（x）的周期为2|a|.

（2）若y＝f（x）在x∈R时，恒有f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝±

，则函数y＝f（x）的周期为2|a|.

5．函数的图象

重点结论：

（1）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（a－x），即f（x）＝f（2a－x），则f（x）的图象关于直线x＝a对称．

（2）若f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝对称．

（3）若函数y＝f（x）满足f（x）＝2b－f（2a－x），则该函数的图象关于点（a，b）成中心对称．

（见学生用书P8）

考点一　函数及其表示

考点精析

1．构成函数概念的三要素

（1）三要素是指定义域、对应法则、值域．

（2）三要素中只要有一个不同，两个函数就是不同的函数．

（3）三要素都相同的两个函数是一个函数．

2．当函数是由解析式给出时，则其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．也就是：

（1）分式的分母不得为零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数函数的真数必须大于零；

（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

（5）三角函数中的正切函数y＝tanx，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z.

例1－1（2015·

湖北卷）函数f（x）＝＋lg的定义域为（　　）

A．（2，3）B．（2，4]

C．（2，3）∪（3，4]D．（－1，3）∪（3，6]

考点：

函数定义域的求法．

分析：

可以根据选项，用排除法，也可以直接列出使函数解析式有意义的x的不等式组，解不等式组即可．

解析：

（方法1）当x＝3和当x＝5时，函数均没有意义，故可排除选项B、D；

当x＝4时，函数有意义，可排除选项A.故选C.

（方法2）要使函数有意义，则

解得2<

x≤4且x≠3，所以定义域为（2，3）∪（3，4]．

答案：

C

点评：

本题主要考查函数定义域的求法，根据题目及选项特点，可用直接法，也可用排除法，属基础题．

例1－2已知函数f（x）的定义域为（－3，0），则函数f（2x－1）的定义域为________．

函数的定义域及其求法．

根据题目给出的函数f（x）的定义域，由2x－1在函数f（x）的定义域内求解x的范围得函数f（2x－1）的定义域．

函数f（x）的定义域为（－3，0），

则由－3<

2x－1<

0，

解得－1<

x<

.

∴函数f（2x－1）的定义域为.

本题考查了复合函数的定义域及其求法，给出函数f（x）的定义域[a，b]，求解函数f[g（x）]的定义域，只需由a≤g（x）≤b求解x的取值集合即可，是基础题．

规律总结

函数的概念及其表示是研究函数的基础，因而也是高考重点考查对象．考查时，一般较少直接考查，主要在考查其他知识的同时间接考查；

若直接考查，函数的定义域问题则是其热点问题，应重点突破．偶尔也会涉及到函数的概念，甚至映射的概念．因此我们在二轮复习中对本考点内容复习的策略是：

重点突破函数的定义域问题，兼顾函数概念乃至映射概念，不要留下知识的盲点，造成不必要的丢分．

变式训练

【1－1】已知函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数y＝f（x＋3）＋f（x2）的定义域为（　　）

A．[－2，1]B．[1，2]

C．[－2，－1]D．[－1，2]

∵函数f（x）的定义域为[0，4]，要求函数y＝f（x＋3）＋f（x2）的定义域，∴x＋3∈[0，4]且x2∈[0，4]，∴－3≤x≤1且－2≤x≤2，∴抽象函数的定义域是[－2，1]．

A

【1－2】若函数f（x）＝lg（x＋2x－m）在区间[1，2]上有意义，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，3）B．（－∞，6）

C．[1，2]D．（－∞，3]

令对数的真数t＝x＋2x－m，

则它的导数为t′＝1＋2xln2，再由x∈[1，2]，可得t′>

故函数t＝x＋2x－m在区间[1，2]上为增函数，

故函数f（x）＝lg（x＋2x－m）在区间[1，2]上是增函数．

再由函数f（x）＝lg（x＋2x－m）在区间[1，2]上有意义，

可得当x＝1时，t>

0，即1＋2－m>

0，解得m<

3.

考点二　函数的图象及其应用

1．作图：

常用描点法或变换作图法．

2．识图：

从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面，找准解析式与图象的对应关系．

3．用图：

图象形象地显示了函数的性质，因此，函数的性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．

例2－1（2014·

长郡二模）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：

①f（x）＝sinxcosx；

②f（x）＝sin2x＋1；

③f（x）＝2sin；

④f（x）＝sinx＋cosx.

其中“同簇函数”的是（　　）

A．①②B．①④

C．②③D．③④

函数的图象与图象变化．

由于f（x）＝sinx＋cosx＝2sin，再根据函数图象的平移变换规律，可得它与f（x）＝2sinx＋的图象间的关系．而其余的两个函数的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标（或纵坐标）的伸缩变换，故不是“同簇函数”．

由于①f（x）＝sinxcosx＝sin2x与②f（x）＝sin2x＋1的图象仅经过平移没法重合，还必须经过纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．

由于①f（x）＝sinxcosx＝sin2x与④f（x）＝sinx＋cosx＝2sin的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横、纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．

②f（x）＝sin2x＋1与③f（x）＝2sin的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横、纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．

由于④f（x）＝sinx＋cosx＝2

＝2sin，

故把③f（x）＝2sin的图象向左平移，

可得f（x）＝2sin的图象，

故③和④是“同簇函数”．

D

本题主要考查新定义，函数图象的平移变换规律，属于基础题．

例2－2（2014·

武汉调研）如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°

）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的大致图象是（　　）

函数图象的识别与应用问题．

认真阅读、理解题目意思，找出面积S与时间t的变化关系．

随着时间的增长，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢减小，所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快，然后越来越慢，反映在图象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选C.

本题考查阅读理解能力和函数图象的识别，根据题意，明确S与t的变化关系，找出其对应的图象，属中档题．

函数的图象是函数的一个重要组成部分，是数形结合的桥梁．因而本考点内容是高考重点考查对象，考查的热点问题是“用图”．这类问题一般处在高考试卷的选择、填空题的压轴位置．因此需要我们在二轮复习中重点关注和重点突破．

【2－1】（2015·

山西四校联考）函数y＝的图象大致为（　　）

y＝＝＝，由此容易判断函数为奇函数，可以排除A；

又函数有无数个零点，可排除C；

当x取一个较小的正数时，y>

0，由此可排除B，故选D.

【2－2】（2014·

太原一模）已知方程＝k在（0，＋∞）上有两个不同的解α，β（α<

β），则下面结论正确的是（　　）

A．sinα＝αcosβB．sinα＝－αcosβ

C．cosα＝βsinβD．sinβ＝－βsinα

∵＝k在（0，＋∞）上有两个根，

∴函数y＝|sinx|和函数y＝kx在（0，＋∞）上有两个交点，由题可知x>

0且k>

0，画出两个函数的图象，如图所示．

函数y＝|sinx|和函数y＝kx在（0，π）上有一个交点A（α，sinα），在（π，2π）上有一个切点B（β，sinβ）时满足题意，α，β是方程的根．

当x∈（π，2π）时，f（x）＝|sinx|＝－sinx，

f′（x）＝－cosx，

∴在B处的切线为y－sinβ＝f′（β）（x－β），

将x＝0，y＝0代入方程，得sinβ＝－βcosβ，

∴＝－cosβ.

∵O，A，B三点共线，∴＝，

∴＝－cosβ，∴sinα＝－αcosβ.

B

考点三　分段函数

对于分段函数应当注意的是分段函数是一个函数，而不是几个函数，其特征在于“分段”，即对应关系在不同的定义区间内各不相同．在解决有关分段函数问题时既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数的几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，且分别注明各部分的自变量的取值情况．

例3－1（2015·

全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝且f（a）＝－3，则f（6－a）＝（　　）

A．－B．－

C．－D．－

分段函数的正向求值与逆向求值问题．

分类讨论处理条件f（a）＝－3，解得a，再代入函数解析式计算f（6－a）．

当a≤1时，则2a－1－2＝－3，2a－1＝－1，a无解．

当a>

1时，f（a）＝－log2（a＋1）＝－3，a＋1＝8，a＝7.从而f（6－a）＝f（－1）＝2－1－1－2＝－，故选A.

分段函数的求值问题应根据自变量的值所属区间选定相应的解析式代入求解，即对号入座．

例3－2设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f（x）＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．

函数的周期性，分段函数的解析式求法及其图象的作法．

由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f＝f＝1－a＝f＝；

再由f（－1）＝f

（1）