参考借鉴全等三角形的经典模型doc文档格式.docx

参考借鉴全等三角形的经典模型doc文档格式.docx

《参考借鉴全等三角形的经典模型doc文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《参考借鉴全等三角形的经典模型doc文档格式.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

典题精练

【例1】已知：

如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，，O为BC的中点，

⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要

求证明）

⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持

AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论.

⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．

1【解析】⑴OA=OB=OC

⑵连接OA,

∵OA=OCAN=CM

∴△ANO≌△CMO

∴ON=OM

∴

∴△OMN是等腰直角三角形

⑶△ONM依然为等腰直角三角形，

证明：

∵∠BAC=90°

，AB=AC，O为BC中点

∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°

，

∴AO=BO=OC，

∵在△ANO和△CMO中，

∴△ANO≌△CMO（SAS）

∴ON=OM，∠AON=∠COM，

又∵∠COM∠AOM=90°

∴△OMN为等腰直角三角形．

【例2】两个全等的含，角的三角板和三角板，如

图所示放置，三点在一条直线上，连接，取的

中点，连接，．试判断的形状，并说明理由．

【解析】是等腰直角三角形．

连接．由题意，得

∴为等腰直角三角形.

∵，

∴．

∴，

∴≌．

又．

∴是等腰直角三角形．

【例3】已知：

如图，中，，，是的中

点，于，交于，连接．

求证：

．

1【解析】证法一：

如图，过点作于，交于．

∵，，

∵，∴．

∵，∴

在和中，

∴．∴．

证法二：

如图，作交的延长线于．

∵，∴，

∴．∴

【例4】如图，等腰直角中，，为内部一点，满足

，求证：

【解析】补全正方形，连接DP，

易证是等边三角形，，，

∴，，∴，

【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型

在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。

例4为求角度的应用，其他应用探究如下：

【探究一】证角等

【备选1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，M为AC中点，连结BM，作AD⊥BM交BC于点D，连结DM，求证:

∠AMB=∠CMD．

【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC，延长AD交CF于点N，

∵AN⊥BM，由正方形的性质，可得AN=BM，

易证Rt△ABM≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠CND，CN=AM，

∵M为AC中点，∴CM=CN，

∵∠1=∠2，可证得△CMD≌△CND，

∴∠CND=∠CMD，

∴∠AMB=∠CMD．

【探究二】判定三角形形状

【备选2】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于点M，延长BD交NE的延长线于点F，试判定△DEF的形状．

【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC，

可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K，

∵AK⊥BD，可知AK=BD，易证:

Rt△ABD≌Rt△CAK，

∴∠ADB=∠CKN，CK=AD，

∵AD=EC，∴CK=CE，

易证△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN，

易证∠EDF=∠DEF，∴△DEF为等腰三角形．

【探究三】利用等积变形求面积

【备选3】如图，Rt△ABC中，∠A=90°

，AB=AC，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE．

【解析】作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB，

可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M，

可知DN=EB=4，DM=FC=3，

由正方形对称性质，

可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·

DN=34=12．

【探究四】求线段长

【备选4】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°

，BD=3，CD=2，求AD的长．

【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC=45°

，若分别以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°

的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．

【解析】以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB，再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC．

可知BE=BD=3，FC=CD=2，

延长EB、FC交点G，∵∠BAC=45°

由对称性，可得∠EAF=90°

，且AE=AD=AF，

易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD，

设AD=P，则BG=P－3，CG=P－2，

在Rt△BCG中，由勾股定理，得，

解得P=6，即AD=6．

【探究五】求最小值

【备选5】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°

，AC=BC=4，M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求PM+PC的最小值．

【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB，可知四边形ACBD为正方形，连接CD，可知点C关于AB的对称点D，连接MD交AB于点P，连接CP，则PM+PC的值为最小，最小值为:

PM+PC=DM=．

题型二：

三垂直模型

常见三垂直模型

例题精讲

【引例】已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，⑴求证：

AC⊥CE；

⑵若将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，，

其余条件不变，试判断AC⊥C1E这一结论是否成立？

若成立，给予证

明；

若不成立，请说明理由.

①②③④

1【解析】⑴∵AB⊥BD，ED⊥BD

在与中

∴（SAS）

∵

∴,即AC⊥CE

⑵图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明

∴

∵∴

∴AC⊥C1E

【例5】正方形中，点、的坐标分别为，，点在第一象限．求正方形边长及顶点的坐标．（计算应用：

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）

2【解析】过点C作CG⊥P轴于G，过B作BE⊥P轴于E，并反向延长交CG于F

点、的坐标分别为，

∴BE=8，AE=6，∴AB=10

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC

∵

∴△AEB≌△BFC

∴CF=BE=8，BF=AE=6

∴CG=12EF=14

∴C（14，12），正方形的边长为10

【点评】此题中三垂直模型：

【例6】如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，．

⑴求证：

；

⑵求证：

是线段的垂直平分线；

⑶是等腰三角形吗？

请说明理由．

【解析】⑴∵，，

∴，∴，

∴，∴．

⑵∵是中点，∴

由⑴得：

，∴

由等腰三角形的性质，得：

即是线段的垂直平分线．

⑶是等腰三角形，

由⑵得：

，由⑴得：

∴，∴是等腰三角形．

【例7】⑴如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数=；

⑵如图2，Rt△ABC中，∠B=90°

，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=CN，连接AN、CM相交于点P．请你猜想∠APM=°

，并写出你的推理过程．

（20KK平谷一模）

3【解析】⑴图略，60°

⑵45°

作AE⊥AB且.

可证≌

∵∴

∴

∴是等腰直角三角形,

又△AEC≌△CAN（SAS）

∴

∴EC∥AN.

思维拓展训练（选讲）

训练1.已知：

如图，中，AC=BC，，是上一点，AE⊥BD的延长线于E，并且，求证：

BD平分.

4【解析】延长AE交BC的延长线于F

∵BE⊥AF，

∴在△AFC和△BDC中，

∴△AFC△BDC（ASA）

∴AF=BD

又∵

∴BE是AF的中垂线∴BA=BF

∴BD平分

训练2.已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DG⊥CE于G，DG交AC于F.求证：

OE=OF

1【解析】∵ABCD是正方形

∴OD=OC

∵DG⊥CE∴

∴∵

∴在△DOF和△COE中，

∴△DOF≌△COE（ASA）

∴OE=OF

训练3.已知：

如图，中，，，是的中点，于．求证：

5【解析】∵，，是的中点

∴AD=BD=CD，AD⊥BC

∴在△BDH和△ADF中，

∴△BDH≌△ADF（ASA）

∴DH=DF

训练4.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

6【解析】在Rt△AEF和Rt△DEC中，∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°

，

∴∠AEF+∠DEC=90°

，而∠ECD+∠DEC=90°

∴∠AEF=∠ECD．

又∠FAE=∠EDC=90°

．EF=EC

∴Rt△AEF≌Rt△DCE．

∴AE=CD．

∴AD=AE+4．

∵矩形ABCD的周长为32cm，

∴2（AE+AE+4）=32．

解得AE=6cm．

复习巩固

题型一等腰直角三角形模型巩固练习

【练习1】如图，△ACB、△ECD均为等腰直角三角形，则图中与△BDC全等的三角形为_________.

2【解析】△AEC

【练习2】如图，已知中，，是的中点，，垂足为．，交的延长线于点．求证：

2【解析】∵，，

又∵，

∵是的中点，

即．

题型二三垂直模型巩固练习

【练习3】已知：

如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．请探求DF与AB有何数量关系？

写出你所得到的结论并给予证明．

F

A

D

C

E

B

3【解析】经探求，结论是：

DF=AB．

证明如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=，AD∥BC，

∴∠DAF=∠AEB．

∵DF⊥AE，∴∠AFD=，

∵AE=AD，

∴．

∴AB=DF．

【练习4】如图，中，，，是上任意一点，

交延长线于，于．求证：

4【解析】根据条件，、都与互余，

，，

则，，

【练习5】四边形ABCD是正方形．

⑴如图1，点G是BC边上任意一点（不与B、C两点重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．