专题16 圆锥曲线与方程高中数学经典错题深度剖析及针Word格式.docx
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【标题03】弄错了椭圆的关系
【习题03】已知双曲线与椭圆有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为.
【经典错解】椭圆的焦点坐标为,双曲线的焦点坐标为,
∵双曲线与椭圆有相同的焦点,∴,∴,∴双曲线的渐近线方程为,
【详细正解】椭圆的焦点坐标为,双曲线的焦点坐标为,
∵双曲线与椭圆有相同的焦点,∴,∴,∴双曲线的渐近线方程为.
【习题03针对训练】以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为()
A.B.C.D.
【标题04】没有对两渐近线所成的角分类讨论
【习题04】已知双曲线两条渐近线的夹角是,则.
【经典错解】由题得双曲线的渐近线的方程为,
所以,故填.
【详细正解】由题得双曲线的渐近线的方程为
或者,所以,故填或.
【习题04针对训练】已知双曲线的右焦点到其一条渐近线距离为,则实数的值是.
【标题05】利用直线方程的斜截式解答时没有分类讨论
【习题05】已知一条曲线在轴右边,上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是.
(1)求曲线的方程;
(2)设是过原点的直线,是与垂直相交于点,且与曲线相交于两点的直线,且,问:
是否存在上述直线使成立?
若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由.
【经典错解】
(1)设是曲线上任意一点,
那么点满足,化简,得.
(2)设两点的坐标分别为,假设使成立的直线存在.
设的方程为,由与垂直相交于点且.得,即①
∵∴
即.
将代入方程,得
∵与有两个交点,∴,②
∴
③
将②代入③得
化简,得.∵,∴∴④
由①、④得或,
得存在两条直线满足条件,其方程为:
或.
综上,符合题意的直线有两条:
【详细正解】
(1)同上;
(2)设两点的坐标分别为.
假设使成立的直线存在.
①当垂直于轴时,则为轴,点坐标为,,.
∴,∴,不合题意.
②当不垂直于轴时,设的方程为,同上略.
【习题05针对训练】已知椭圆:
()过点,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且为线段中点,再过作直线.求直线是否恒过定点,若果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由.
【标题06】把代入抛物线的方程开方时漏掉了一个解
【习题06】已知抛物线上一点到焦点的距离是6,则点的坐标是.
【经典错解】抛物线的焦点坐标为,设点的坐标为,由题得,所以,所以点的坐标为.
【详细正解】抛物线的焦点坐标为(2,0),设点的坐标为,由题得,所以所以,所以点的坐标为.
(1)经典错解错在把代入抛物线的方程开方时漏掉了一个解.
(2)计算时,一定要注意每一步的等价性,本题同时也可以画图观察,由对称性可知有两解.
【习题06针对训练】设抛物线的焦点为,点在轴上,若线段的中点在抛物线上,且点到抛物线准线的距离为,则点的坐标为( )
A.(0,±
2)B.(0,2)C.(0,±
4)D.(0,4)
【标题07】没有认真注意关键词“线段”导致出现双解
【习题07】连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点,设点为坐标原点,则三角形的面积为( )
【经典错解】抛物线的焦点为且,
所以直线所在的直线方程为,
与抛物线方程联立有,解得,
所以.故选.
【详细正解】上同.解得,
因为点是线段与抛物线的交点,所以点的纵坐标为,
所以.故选.
【习题07针对训练】已知双曲线(,)与直线有交点,则双曲线的离心率的范围是()
A.B.
C.D.
【标题08】求出轨迹方程后忽略了方程的变量的范围
【习题08】已知圆:
圆:
动圆与圆外切并且与圆内切,则圆心的轨迹方程为_______.
【经典错解】设动圆P的半径为,由题得
所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆,由题得所以
所以动圆圆心的轨迹方程为.
【详细正解】设动圆P的半径为,由题得
所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆的一部分,由题得所以
所以椭圆的方程为,但是当点时,动圆不存在,此时圆变成了一个点,所以与已知矛盾.所以动圆圆心的轨迹方程为
【习题08针对训练】求与圆及都外切的动圆圆心的轨迹方程.
【标题09】利用函数来研究最值时忽略了函数的定义域
【习题09】在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,且椭圆上的点到的距离的最大值为,求椭圆的方程.
(1)设由,所以
设是椭圆上任意一点,则,所以
所以当时,有最大值,可得,所以
故椭圆的方程为:
当时,当时,有最大值,可得,所以
当时,不合题意.故椭圆的方程为:
【习题09针对训练】已知为椭圆C:
的左右焦点,椭圆上的点到的最近距离为,且离心率为.
(1)椭圆的方程;
(2)若是椭圆上的动点,求的最大值和最小值.
【标题10】没有利用三角形边角关系定理检验导致出错
【习题10】已知分别是双曲线的左、右焦点,点在该双曲线上,,则()
.1或17.1或19.17.19
【经典错解】根据双曲线的定义,有,解得,故选.
【详细正解】根据双曲线的定义,有,解得,由于,三角形两边的和大于第三边,故不符合,舍去.故选.
(1)经典错解错在没有利用三角形边角关系定理检验导致出错.
(2)出现双解或者多解后,我们要注意检验,本题可以利用三角形两边之和大于第三边检验,也可以利用检验,因为1<
2,所以舍去.
【习题10针对训练】若双曲线的左、右焦点分别为,,点在双曲线上,且,则等于.
【标题11】以为设双曲线方程为什么情况都可以避免分类讨论
【习题11】某一双曲线的焦距为12,且与双曲线有相同的渐近线,求此双曲线的标准方程.
【经典错解】设双曲线的方程为,所以,所以
【详细正解】设双曲线的方程为,所以,
当时,所以,
当时,
综上所述,双曲线的标准方程为或.
(1)经典错解错在以为设双曲线方程为什么情况都可以避免分类讨论.
(2)本题即使设成,也要分类讨论.当时,双曲线的焦点在轴上,当时,双曲线的焦点在轴上.(3)如果已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且过某一个点P,设成再代点P的坐标可以避免分类讨论,因为此时满足条件的的双曲线是唯一的.所以不要以为设双曲线方程为什么情况都可以避免分类讨论,还是要看具体情况而言.
【习题11针对训练】某一双曲线的焦距为,且与双曲线有相同的渐近线,求此双曲线的标准方程.
【标题12】没有发现双曲线焦点在轴上而当作焦点在轴上解答了
【习题12】双曲线的一个焦点是,则.
【经典错解】由题得,所以所以填“2”.
【详细正解】由题得,因为双曲线的焦点在轴上,所以
所以填“—2”.
【习题12针对训练】点到抛物线的准线的距离是2,则实数.
高中数学经典错解深度剖析及针对训练
第16讲:
圆锥曲线与方程参考答案
【习题01针对训练答案】.
【习题01针对训练解析】由于点满足,知点的轨迹是以为焦点,且的椭圆(由于与不共线,故),
∴,又,∴.
故的顶点的轨迹方程为
【习题02针对训练答案】
【习题02针对训练解析】圆配方得,半径,因此,得,离心率,得,由于焦点在轴上,因此椭圆的方程是.
【习题03针对训练答案】
【习题04针对训练答案】或
【习题04针对训练解析】由题意得,因此,即实数的值是或
【习题05针对训练答案】
(1);
(2)直线恒过定点.
【习题05针对训练解析】
(1)因为点在椭圆上,所以,所以,
因为椭圆的离心率为,所以,即,
解得,所以椭圆的方程为.
(2)设,,
【习题06针对训练答案】
【习题06针对训练解析】在中,点为边的中点,故的横坐标为,因此=+,解得=,故抛物线方程为,可得点坐标为(,,故点的坐标为.
【习题07针对训练答案】
【习题07针对训练解析】如图所示,双曲线的渐近线方程为,若双曲线(,)与直线有交点,应有,所以解得故选.
【习题08针对训练答案】
【习题09针对训练答案】
(2).
【习题09针对训练解析】
(1)由已知条件得
解得:
则∴椭圆的方程为:
(2)设E,则有:
∵,,所以
∵点在椭圆上∴
∴当时,所求最小值为.当时,所求最大值为8.
【习题10针对训练答案】18或6.
【习题10针对训练解析】
由题得,经检验,都符号题意.
故填18或6.
【习题11针对训练答案】或
【习题11针对训练解析】设双曲线的方程为,所以,