专题32 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题解析版Word文件下载.docx

专题32 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题解析版Word文件下载.docx

《专题32 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题解析版Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题32 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题解析版Word文件下载.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（2）.

【解析】

（1）原点到椭圆上顶点与右顶点连线的距离为.

又离心率，又因为，

解得，，所以椭圆方程为．

（2）设，直线的方程为：

，

将代入得：

于是得：

且，

设中点，则，

因为线段的垂直平分线的纵截距为，所以线段的垂直平分线过点，

所以，即，

因为，所以，所以，

代入得，

所以.

类型二垂直问题

典例2（2019·

山东高考模拟（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？

若存在，求点的坐标；

若不存在，请说明理由．

（2）见解析

（1）面积的最大值为，则：

又，，解得：

椭圆的方程为：

（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形

设，，线段的中点为

由，消去可得：

，解得：

∴，

依题意有，

由可得：

，可得：

代入上式化简可得：

则：

当时，点满足题意；

当时，点满足题意

故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形

【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；

其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理．

【举一反三】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断性考试】已知O为坐标原点，椭圆的两个焦点分别为.点在椭圆C上，且P到的距离之和为4.

（1）求椭圆C的方程。

（2）若过点的直线l与椭圆C交于A,B两点，以AB为直径的圆过O，求直线l的方程．

（1）到的距离之和为

椭圆经过点

椭圆的方程为

（2）设，，

由已知得，斜率存在，设，

，得

，，

以为直径的圆过，

。

类型三面积问题

典例3【广东省肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测】已知椭圆经过点，左焦点，直线与椭圆交于两点，是坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（1）依题意可得解得，右焦点，

，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设，由得

由得，

到的距离

当且仅当，即时，得，

面积取得最大值

【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接或者利用割补的办法表示面积，若含有多个变量可通过变量间的关系，将其转化为一个变量的函数，利用函数思想其值域，其中往往会涉及中点、弦长、垂直、共线问题，韦达定理是转化桥梁．

（2020·

山东高三期末）已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C（0，－2），过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；

当直线l经过点A时，l的斜率为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）证明：

为定值．

（1）

（2）证明见解析

（1）由解得或（舍去），

∴，又，

又，

椭圆E的方程为；

（2）由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为，

=

=，

直线BP的方程为，令解得，则，

同理可得，

==，

类型四范围与定值问题

典例4（2020·

山东高三期末）已知椭圆的离心率为，是其右焦点，直线与椭圆交于，两点，.

（2）设，若为锐角，求实数的取值范围.

（1）

（2）或

（1）设为椭圆的左焦点,连接,由椭圆的对称性可知,,

所以,所以,

又,,解得,,

所以椭圆的标准方程为

（2）设点,则,,

联立,得,

所以,,

因为为锐角,所以,

所以

解得或

【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；

而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解．

【举一反三】【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，的周长为8，直线被椭圆截得的线段长为.

（2）设是椭圆上两动点，线段的中点为，的斜率分别为（为坐标原点），且，求的取值范围.

（1）根据题意，.

把代入椭圆方程得，，

因为直线被椭圆截得的线段长为，

所以，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）设，，由，得，

当的斜率不存在时，，，，又，

，这时.

当的斜率存在时，设直线，由得：

由得①

，，结合得

②

由①②知且，，，

综上的取值范围为.

【精选名校模拟】

1．

1.（2020·

山东高三）在平面直角坐标系中，已知椭圆：

的焦距为2，且过点.

（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程：

若不存在，说明理由.

（1）

（2）存在，

（1）由已知可得：

解得，，，

所以椭圆：

.

（2）由已知可得，，，∴，∵，

设直线的方程为：

，代入椭圆方程整理得

，设，，

则，，

∵，∴.

即，

因为，，

即.

所以，或.

又时，直线过点，不合要求，所以.

故存在直线：

满足题设条件.

2.（2018·

山东高考模拟（理））设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程;

（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：

三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.

（2）

（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴，

∵离心率为，∴，又，解得，，，

∴椭圆的方程为

（2）（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，

此时，，

（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，

得，

设的横坐标分别为，

则，∴，

由可得直线的方程为，联立椭圆的方程，消去，

得

设的横坐标为，则

∴

，令，

则，

综上

3.（2020·

山东高三期末）顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.

（2）设直线与椭圆相切于点，过点作，垂足为，求面积的最大值.

（1）由题意可得，解得：

故椭圆的方程为；

（2）显然直线斜率存在且不为，设直线，联立，

且，得，

所以，

联立，得，所以，

则，

故面积最大值为，当且仅当时成立.

4.（2019·

江西高三月考（理））

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知直线与椭圆相交于两点，且坐标原点到直线的距离为，的大小是否为定值？

若是求出该定值，不是说明理由.

（Ⅰ）（Ⅱ）的大小为定值，且

（I）设椭圆方程为

因为

则

于是

因为

故椭圆的方程为

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由坐标原点到直线的距离为可知

∴,∴,

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为,,

∵原点到直线的距离为,

∴，整理得（*）,

将（*）式代入得

∴

综上分析，的大小为定值，且

5.（2019·

山东高考模拟（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线，与以右焦点为圆心，半径为的圆相切.

（2）线段是椭圆过右焦点的弦，且，求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.

（2）3，1.

（1）设，，

则直线的方程为：

，即.

∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，解之得.

∵椭圆的离心率为，即，所以，所以，

∴椭圆的方程为.

（2）由

（1）得，，

由题意得直线的斜率不为0，故设直线的方程为：

代入椭圆方程化简可得，

恒成立，

设，，则，是上述方程的两个不等根，

∴，.

∴的面积

设，则，，则，.

令，则恒成立，

则函数在上为减函数，故的最大值为，

所以的面积的最大值为，当且仅当，即时取最大值，

此时直线的方程为，即直线垂直于轴，此时，即.

6.（2018·

山东济南外国语学校高三月考（理））已知椭圆的左右顶点分别为，左焦点为，已知椭圆的离心率为，且过点.

（2）若过点的直线与该椭圆交于两点，且线段的中点恰为点，求直线的方程.

（1）因为e＝＝＝，则3a2＝4b2，

将（1，）代入椭圆方程：

+＝1，解得：

a＝2，b＝，

所以椭圆方程为+＝1；

（2）设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），

∵线段PQ的中点恰为点N，

∴xP+xQ＝2，yP+yQ＝2，

∵+＝1，+＝1，两式相减可得（xP+xQ）（xP﹣xQ）+（yP+yQ）（yP﹣yQ）＝0，

∴＝﹣，

即直线PQ的斜率为﹣，

∴直线PQ的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即3x+4y﹣7＝0.

7.【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调研】已知椭圆：

的离心率为，短轴长为.

（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点.问：

是否存在直线，使得？

若存在，求出直线的方程；

若不存在，请说明理由.

（1）∵，，且有，

解得，，

∴椭圆的方程为.

（2）由题可知的斜率一定存在，设为，设，，

联立

∵，∴为线段的中点，

∴……④

将④代入②解得……⑤

将④代入③得……⑥

将⑤代入⑥解得……⑦

将⑦式代入①式检验成立，

∴，即存在直线：

或合题意.

8．【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】在平面直角坐标系中，点，是平面内一点，直线的斜率之积为.

（1）