专题32 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题解析版Word文件下载.docx
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(2).
【解析】
(1)原点到椭圆上顶点与右顶点连线的距离为.
又离心率,又因为,
解得,,所以椭圆方程为.
(2)设,直线的方程为:
,
将代入得:
于是得:
且,
设中点,则,
因为线段的垂直平分线的纵截距为,所以线段的垂直平分线过点,
所以,即,
因为,所以,所以,
代入得,
所以.
类型二垂直问题
典例2(2019·
山东高考模拟(理))已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,为椭圆上一动点(异于左右顶点),面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆相交于点两点,问轴上是否存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?
若存在,求点的坐标;
若不存在,请说明理由.
(2)见解析
(1)面积的最大值为,则:
又,,解得:
椭圆的方程为:
(2)假设轴上存在点,是以为直角顶点的等腰直角三角形
设,,线段的中点为
由,消去可得:
,解得:
∴,
依题意有,
由可得:
,可得:
代入上式化简可得:
则:
当时,点满足题意;
当时,点满足题意
故轴上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形
【名师指点】直线与直线的垂直关系,首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系;
其次可以利用向量数量积为0处理,再可以联系圆中的有关知识,利用直径所对的圆周角为直角处理.
【举一反三】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断性考试】已知O为坐标原点,椭圆的两个焦点分别为.点在椭圆C上,且P到的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程。
(2)若过点的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过O,求直线l的方程.
(1)到的距离之和为
椭圆经过点
椭圆的方程为
(2)设,,
由已知得,斜率存在,设,
,得
,,
以为直径的圆过,
。
类型三面积问题
典例3【广东省肇庆市2019届高三第二次(1月)统一检测】已知椭圆经过点,左焦点,直线与椭圆交于两点,是坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(1)依题意可得解得,右焦点,
,所以,
所以椭圆的标准方程为.
(2)设,由得
由得,
到的距离
当且仅当,即时,得,
面积取得最大值
【名师指点】对于平面图形的面积问题,可以直接或者利用割补的办法表示面积,若含有多个变量可通过变量间的关系,将其转化为一个变量的函数,利用函数思想其值域,其中往往会涉及中点、弦长、垂直、共线问题,韦达定理是转化桥梁.
(2020·
山东高三期末)已知椭圆的离心率e满足,右顶点为A,上顶点为B,点C(0,-2),过点C作一条与y轴不重合的直线l,直线l交椭圆E于P,Q两点,直线BP,BQ分别交x轴于点M,N;
当直线l经过点A时,l的斜率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)证明:
为定值.
(1)
(2)证明见解析
(1)由解得或(舍去),
∴,又,
又,
椭圆E的方程为;
(2)由题知,直线的斜率存在,设直线的方程为,
=
=,
直线BP的方程为,令解得,则,
同理可得,
==,
类型四范围与定值问题
典例4(2020·
山东高三期末)已知椭圆的离心率为,是其右焦点,直线与椭圆交于,两点,.
(2)设,若为锐角,求实数的取值范围.
(1)
(2)或
(1)设为椭圆的左焦点,连接,由椭圆的对称性可知,,
所以,所以,
又,,解得,,
所以椭圆的标准方程为
(2)设点,则,,
联立,得,
所以,,
因为为锐角,所以,
所以
解得或
【名师指点】对于定值问题,可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明,或者可以直接通过运算求解求得;
而范围问题需将所求量用变量表示,利用函数与方程思想求解.
【举一反三】【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线与椭圆交于两点,的周长为8,直线被椭圆截得的线段长为.
(2)设是椭圆上两动点,线段的中点为,的斜率分别为(为坐标原点),且,求的取值范围.
(1)根据题意,.
把代入椭圆方程得,,
因为直线被椭圆截得的线段长为,
所以,解得,
所以椭圆的方程为.
(2)设,,由,得,
当的斜率不存在时,,,,又,
,这时.
当的斜率存在时,设直线,由得:
由得①
,,结合得
②
由①②知且,,,
综上的取值范围为.
【精选名校模拟】
1.
1.(2020·
山东高三)在平面直角坐标系中,已知椭圆:
的焦距为2,且过点.
(2)设椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与椭圆交于,两点,问是否存在直线,使得为的垂心,若存在,求出直线的方程:
若不存在,说明理由.
(1)
(2)存在,
(1)由已知可得:
解得,,,
所以椭圆:
.
(2)由已知可得,,,∴,∵,
设直线的方程为:
,代入椭圆方程整理得
,设,,
则,,
∵,∴.
即,
因为,,
即.
所以,或.
又时,直线过点,不合要求,所以.
故存在直线:
满足题设条件.
2.(2018·
山东高考模拟(理))设椭圆的右焦点为,离心率为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若上存在两点,椭圆上存在两个点满足:
三点共线,三点共线,且,求四边形的面积的最小值.
(2)
(1)∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为,∴,
∵离心率为,∴,又,解得,,,
∴椭圆的方程为
(2)(i)当直线的斜率不存在时,直线的斜率为,
此时,,
(ii)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,联立,
得,
设的横坐标分别为,
则,∴,
由可得直线的方程为,联立椭圆的方程,消去,
得
设的横坐标为,则
∴
,令,
则,
综上
3.(2020·
山东高三期末)顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.
(2)设直线与椭圆相切于点,过点作,垂足为,求面积的最大值.
(1)由题意可得,解得:
故椭圆的方程为;
(2)显然直线斜率存在且不为,设直线,联立,
且,得,
所以,
联立,得,所以,
则,
故面积最大值为,当且仅当时成立.
4.(2019·
江西高三月考(理))
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率,过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知直线与椭圆相交于两点,且坐标原点到直线的距离为,的大小是否为定值?
若是求出该定值,不是说明理由.
(Ⅰ)(Ⅱ)的大小为定值,且
(I)设椭圆方程为
因为
则
于是
因为
故椭圆的方程为
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,由坐标原点到直线的距离为可知
∴,∴,
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,,
∵原点到直线的距离为,
∴,整理得(*),
将(*)式代入得
∴
综上分析,的大小为定值,且
5.(2019·
山东高考模拟(理))已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆的离心率为,过椭圆的左焦点,且斜率为1的直线,与以右焦点为圆心,半径为的圆相切.
(2)线段是椭圆过右焦点的弦,且,求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.
(2)3,1.
(1)设,,
则直线的方程为:
,即.
∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离为,解之得.
∵椭圆的离心率为,即,所以,所以,
∴椭圆的方程为.
(2)由
(1)得,,
由题意得直线的斜率不为0,故设直线的方程为:
代入椭圆方程化简可得,
恒成立,
设,,则,是上述方程的两个不等根,
∴,.
∴的面积
设,则,,则,.
令,则恒成立,
则函数在上为减函数,故的最大值为,
所以的面积的最大值为,当且仅当,即时取最大值,
此时直线的方程为,即直线垂直于轴,此时,即.
6.(2018·
山东济南外国语学校高三月考(理))已知椭圆的左右顶点分别为,左焦点为,已知椭圆的离心率为,且过点.
(2)若过点的直线与该椭圆交于两点,且线段的中点恰为点,求直线的方程.
(1)因为e===,则3a2=4b2,
将(1,)代入椭圆方程:
+=1,解得:
a=2,b=,
所以椭圆方程为+=1;
(2)设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),
∵线段PQ的中点恰为点N,
∴xP+xQ=2,yP+yQ=2,
∵+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP﹣xQ)+(yP+yQ)(yP﹣yQ)=0,
∴=﹣,
即直线PQ的斜率为﹣,
∴直线PQ的方程为y﹣1=﹣(x﹣1),即3x+4y﹣7=0.
7.【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调研】已知椭圆:
的离心率为,短轴长为.
(2)设过点的直线与椭圆交于、两点,是椭圆的上焦点.问:
是否存在直线,使得?
若存在,求出直线的方程;
若不存在,请说明理由.
(1)∵,,且有,
解得,,
∴椭圆的方程为.
(2)由题可知的斜率一定存在,设为,设,,
联立
∵,∴为线段的中点,
∴……④
将④代入②解得……⑤
将④代入③得……⑥
将⑤代入⑥解得……⑦
将⑦式代入①式检验成立,
∴,即存在直线:
或合题意.
8.【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】在平面直角坐标系中,点,是平面内一点,直线的斜率之积为.
(1)