一种新的阈值函数的平移不变多小波去噪方法Word文件下载.docx

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　　一般来说，现实中的图像都是带噪图像，为了后续更高层次的处理操作，对图像进行去噪是很有必要的。

去噪的方法很多，线性的去噪法如Wiener滤波存在着抑制噪声同时还要保护信号局部特征的矛盾，不适用于非平稳信号。

随着小波理论日趋完善，它以其自身良好的时频特性和小波基选择灵活性的特点，能有效区分非平稳信号中的突变部分和噪声，在提高信噪比的同时能够保持对突变信息的良好分辨，因此在图像、信号去噪领域受到越来越多的关注。

小波变换后的每个尺度上，由信号产生的小波系数幅值较大，而由噪声产生的小波系数幅值较小，根据这一特点，D.L.Donoho和I.M.Johnstone在小波变换的基础上提出了小波阈值去噪的概念，并证明了此方法可在Besov空间中得到其他任何线性形式不可能达到的最佳估计。

常用的基于小波变换的阈值去噪方法可能在信号的急剧跳变近邻处产生PseudoGibbs现象，即伪吉布斯现象，从而影响去噪效果。

产生此现象的原因是由于小波基缺乏平移不变性，在阈值去噪基础上加以改进的基于平移不变小波去噪法可以很好地抑制该现象，而且该方法还能更好地逼近原始信号。

但是由于此方法中采用的硬阈值函数的整体不连续性和软阈值函数中估计小波系数与原小波系数之间总存在恒定偏差的缺点，使它的应用受到了限制，并且由于单小波本身存在一些不足，无法同时满足正交性、紧支性、对称性和高消失矩等数学特性，而多小波可同时具备上述多种特性，在信号逼近和边界处理上都能获得更优越的效果，因此在去噪方面比单小波更有优势。

　　1理论背景

　　1.1小波变换

　　在影响地震学中，探测高频时，假如送到地下的可调脉冲波持续时间太长，便不能用来分辨密聚的地层结构。

因此，不能始终发射相同波长的波，在探测高频时应发送更短的波，这种由单个函数的伸缩得到的波叫小波。

与傅里叶变换的频域分析方法不同，小波分析是一种时-频分析方法，它的时-频窗在高频时自动变窄变高，在低频时又自动变宽变低，具有自动“聚焦”功能，所以又把小波称为“数学显微镜”。

　　小波φ（t）是一个积分为零的函数：

　　[JZ（]∫\{+∞\}\{-∞\}φ（t）dt=0[JZ）][JY]

（1）

　　对函数φ（t）伸缩及平移后可得：

　　[JZ（]φ\{u,s\}（t）=[SX（]1[][KF（]s[KF）][SX）]φ（[SX（]t-u[]s[SX）]）[JZ）][JY]

（2）

　　函数f（t）在位置u、尺度s上的小波变换定义为如下内积，其中W定义为小波变换：

　　[JZ（]Wf（u,s）=∫\{+∞\}\{-∞\}f（t）[SX（]1[][KF（]s[KF）][SX）]φ（[SX（]t-u[]s[SX）]）dt[JZ）][JY]（3）

　　同窗口傅里叶变换一样，小波变换也可以度量频谱成分的时频变化，然而这两种方法在时频平面上的分辨率并不相同。

　　1.2多小波

　　小波理论是以多分辨分析（MRA）为基础的。

通常来说，一个标量尺度函数满足双尺度关系：

　　[JZ（]Φ（t）=∑[DD（X]k∈Z[DD）]hk（2t-k）[JZ）][JY]（4）

　　其中hk是r*r阶的滤波器矩阵，r是尺度函数的个数，（t）是尺度函数。

（t）的伸缩与平移生成一个多分辨分析，即Φ（t）。

尺度函数（t）的平移（t-k）构成子空间V0的基，而一个标量小波函数φ（t）∈L2（R）的平移构成W0的基，使得V1=V0W0。

标准的MRA仅仅具有一个标量尺度函数（t），V0的基仅仅由（t）的平移构成。

后来标量小波被推广到矢量域上从而得到更为一般化的矢量小波，也称作多小波，它允许由多个尺度函数0（t）,1（t）,…，\{r-1\}（t）的平移来构成V0的基。

　　多小波是小波理论的新发展，既保持了单小波的诸多优点，又弥补了单小波的不足，可以将正交性、对称性、紧支性和高逼近阶等数学特性完美的结合起来，在信号处理中极具优势。

采用单小波对信号进行处理时，可以直接对采样数据进行分解和重构，而多小波变换（DMWT）则必须进行适当的预处理和后处理：

预处理使输入信号向量化，通过预滤波器Q得到所需的向量流，以便与滤波器矩阵相卷积；

而后处理是通过一个后滤波器P进行相应的逆操作，同时将向量流转换为一维数据流。

预处理和后处理分别在分解之前与重构之后执行，且P、Q满足PQ=I，I单位矩阵。

　　1.3小波阈值去噪

　　Donoho和Johnstone提出的小波阈值去噪方法的基本思想是：

当小波变换后的系数ω\{j,k\}小于某个临界阈值时，认为这时的ω\{j,k\}主要是由噪声引起，予以舍弃；

当ω\{j,k\}大于这个临界阈值时，认为这时的小波系数主要是由信号引起，保留这部分阈值，此为硬阈值方法，或者按照某个固定量向零收缩，此为软阈值方法，然后用新的小波系数进行小波重构，得到去噪后的信号。

此方法可总结为以下3个步骤：

①对带噪信号f（t）作小波变换，得到一组小波系数ω\{j,k\}；

②通过对ω\{j,k\}用软阈值函数或者硬阈值函数进行阈值处理，得到估计小波系数ω\{j,k\}^[]，使得‖ω\{j,k\}^[]-u\{j,k\}‖尽量小，其中u\{j,k\}为信号f（t）对应的小波系数；

③利用ω\{j,k\}^[]进行小波重构，得到估计信号f（t）^[]，即为去噪后的信号。

　　2基于平移不变的小波去噪

　　2.1TI多小波去噪算法

　　平移不变（TranslationInvariant，简称TI）去噪方法最先由Coifman和Donoho提出，它的基本原理是将数据作一定范围的平移，对这些不同平移范围的数据分别降噪之后再作反平移，并将所有结果求平均。

这种方法通过改变信号的排列次序，显著的消除了与信号位置相关的干扰条纹。

　　为了更清楚的描述上述过程，引入时域平移算子。

对于信号xt（0≤t≤N），其中N为信号的长度，定义Sh为循环平移h位的平移算子：

　　[JZ（]Sh（xt）=x（t+h）modN[JZ）][JY]（5）

　　设信号的小波变换和改进阈值去噪过程为一个分析运算T，通过平移来消除振荡的过程可表示为：

　　[JZ（][AKx^]=S-h（T（Sh（x）））[JZ）][JY]（6）

其中S-h定义为反平移算子，[AKx^]为原始信号x（t）基于平移不变的去噪结果。

为了获得理想的去噪结果，基于平移不变的去噪就转化为寻找最优的平移参数h。

当一个信号包含多个奇异点时，有可能产生下面的现象：

对某个奇异点来说是最佳的平移量，而对另一个奇异点可能不是最佳的，甚至是最差的平移量。

因此，对一个复杂信号，很难得到对所有奇异点都是最佳的平移量。

为了解决这个问题，通过对一定范围的平移量作循环平移运算，再将所获得的结果求平均。

对给定平移范围H的平移量，这个过程可由下式表示：

　　[JZ（][AKx^]=Aveh∈H（S-h（T（Sh（x））））[JZ）][JY]（7）

　　其中Aveh∈H为平均运算，平移量H最大为原始信号的长度N。

　　下面描述一下一维信号在TI多小波算法中的分解重构过程。

令A\{j,k\}和D\{j,k\}分别对应一维信号S变换到小波域的低频（尺度函数）和高频（小波系数）成分，下标j表示小波分解级数，k表示循环平移的位数；

令G、H分别为下采样高通、低通算子，[AKG-]、[AKH-]分别为上采样高通、低通算子；

Th表示循环平移h位；

设A\{0,0\}=S，则有如下递归等式：

（1）分解公式

　　[JZ（]D\{j+1,2k\}=GT0A\{j,k\}；

D\{j+1,2k+1\}=GT1A\{j,k\}

　　D\{j+1,2k+1\}=GT1A\{j,k\}；

A\{j+1,2k+1\}=HT1A\{j,k\}[JZ）][JY]（8）

（2）重构公式

　　[JZ（]γ\{j-1,k\}=T0（[AKG~]A\{j,2k\}+[AKH~]D\{j,2k\}）

　　δ\{j-1,k\}=T-1（[AKG~]A\{j,2k+1\}+[AKH~]D\{j,2k+1\}）

　　A\{j-1,k\}=（γ\{j-1\},k+δ\{j-1,k\}）/2[JZ）][JY]（9）

　　其中j=0,…,J,J≤log2N-1,N为信号的长度；

k=0,…,2\{j-1\}-1。

图1说明了小波分解的结构图。

　　图1小波分解示意图（WaveletDecomposition）

　　从图1可知，信号在TI小波分解过程中会产生一些高频、低频信息需要保留。

为了提高算法的时间效率，利用TI表存储算法中得到的小波域数据。

TI表是TI算法中关键的数据结构，对于长度为L的一维信号X，它有3个重要属性：

①对于任意步长h，循环平移的所有小波系数均在其中；

②其相应TI表的计算代价为O（Llog2L）；

③任意平移步长的小波变换的提取需要O（L）的时间。

　　TI结合多小波能更好的保留边缘细节，比传统的TI单小波去噪获得更优的结果。

下面简单描述一下多小波的TI去噪的过程：

　　首先，对输入信号作预滤波处理，生成可作DMWT的向量流；

其次，根据分解公式分别对不同维度上的向量流作TI多小波变换，并将结果存于TI表中；

再次，对TI表中的高频系数进行阈值收缩后，根据重构公式对TI表中的系数作逆平移重构；

最后，将去噪之后的向量流作后滤波，得到最终的恢复图像。

　　2.2改进的阈值函数

　　软、硬阈值方法虽然在实际中得到了广泛的应用，也取得了较好的效果，但它们本身存在着缺陷。

在硬阈值方法中，ω\{j,k\}^[]在阈值λ和-λ处是不连续的，而在软阈值方法中，ω\{j,k\}^[]虽然整体连续性较好，但ω\{j,k\}^[]与ω\{j,k\}之间总存在着恒定的偏差，这将影响重构的精度，并且软阈值函数的导数不连续，而在实际应用中经常要对一阶导数甚至是高阶导数进行运算处理，所以它具有一定的局限性。

为了克服软硬阈值的这些缺陷，构造了一种改进的阈值函数：

　　[JZ（]ω\{j,k\}^[]=[JB（{]sgn（ω\{j,k\}）[JB（（]|ω\{j,k\}|-[SX（]λ[]exp（[SX（]|ω\{j,k\}|-λ[]N[SX）]）[SX）][JB））],|ω\{j,k\}|≥λ

　　0,|ω\{j,k\}|＜λ[JZ）]（10）

　　其中N为任意正整数。

新的阈值函数不但同软阈值函数一样具有连续性，而且当|ω\{j,k\}|＞λ时是高阶可导的，便于进行各种数学处理。

观察式（10）可以发现，当阈值λ很小时，新阈值函数的作用接近于硬阈值函数，但是新的阈值函数更灵活；

当|ω\{j,k\}|非常接近阈值λ时，上式表明ω\{j,k\}^[]近似等于ω\{j,k\}，而不是直接让ω\{j,k\}^[]为零。

另外，从上式容易得到：

　　[JZ（]lim[DD（X]N→∞[DD）]sgn（ω\{j,k\}）（|ω\{j,k\}|-λ[JB（/]exp（[SX（]|ω\{j,k\}|-λ[]N[SX）]））