23份江苏省高考理科数学二轮复习精准提分Word格式.docx

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填空题满分练（6）105

填空题满分练（7）111

填空题满分练（8）118

压轴小题组合练124

压轴小题组合练（A）124

压轴小题组合练（B）130

压轴小题组合练（C）138

附加题满分练

附加题满分练1

1.如图，过点P作圆O的切线PC，切点为C，过点P的直线与圆O交于点A，B（PA<

PB），且AB的中点为D.若圆O的半径为2，PC＝4，圆心O到直线PB的距离为，求线段PA的长.

解　连结OC，OD，因为O为圆心，AB中点为D，

∴OD⊥AB，又PC为圆O的切线，∴OC⊥PC，

由条件可知OD＝，∴AB＝2＝2，

由切割线定理可得PC2＝PA·

PB，

即16＝PA·

（PA＋2），

解得PA＝2.

2.（2018·

江苏省盐城中学调研）已知矩阵M＝满足：

Mai＝λiai，其中λi（i＝1,2）是互不相等的实常数，ai（i＝1,2）是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝，求矩阵M.

解　由题意，λ1，λ2是方程f（λ）＝＝λ2－ab＝0的两根.

因为λ1＝1，所以ab＝1.

又因为Ma2＝λ2a2，所以 

＝λ2，从而

所以λ＝ab＝1.

因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1，从而a＝b＝－1，

故矩阵M＝.

3.（2018·

苏州、南通等六市模拟）在极坐标系中，求以点P为圆心且与直线l:

ρsin＝2相切的圆的极坐标方程.

解　以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.

则点P的直角坐标为.

将直线l:

ρsin＝2的方程变形为：

ρsinθcos－ρcosθsin＝2，化为普通方程得x－y＋4＝0.

∴P到直线l:

x－y＋4＝0的距离为＝2.

∴所求圆的普通方程为2＋2＝4，化为极坐标方程得ρ＝4sin.

4.已知实数x>

0，y>

0，z>

0，证明：

≥.

证明　因为x>

0，

所以≥，≥，

所以≥.

当且仅当x∶y∶z＝1∶2∶3时，等号成立.

5.已知点A（1,2）在抛物线F：

y2＝2px上.

（1）若△ABC的三个顶点都在抛物线F上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3,求－＋的值；

（2）若四边形ABCD的四个顶点都在抛物线F上，记四边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k4，求－＋－的值.

解　

（1）由点A（1,2）在抛物线F上，得p＝2，

∴抛物线F：

y2＝4x，

设B，C，

∴－＋＝－＋＝－＋＝1.

（2）另设D，则－＋－＝－＋－＝0.

6.已知fn（x）＝Cxn－C（x－1）n＋…＋（－1）kC（x－k）n＋…＋（－1）nC（x－n）n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n.

（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；

（2）试猜测fn（x）关于n的表达式，并证明你的结论.

解　

（1）f1（x）＝Cx－C（x－1）＝1，

f2（x）＝Cx2－C（x－1）2＋C（x－2）2＝x2－2（x－1）2＋（x－2）2＝2，

f3（x）＝Cx3－C（x－1）3＋C（x－2）3－C（x－3）3＝x3－3（x－1）3＋3（x－2）3－（x－3）3＝6.

（2）猜测fn（x）＝n！

，n∈N*.

以下用数学归纳法证明.

①当n＝1时，f1（x）＝1，等式成立.

②假设当n＝m（m≥1，m∈N*）时，等式成立，即

fm（x）＝（－1）kC（x－k）m＝m！

.

当n＝m＋1时，则fm＋1（x）＝（－1）kC·

（x－k）m＋1.

因为C＝C＋C，kC＝（m＋1）·

C，其中k＝1,2，…，m，

且C＝C，C＝C，

所以fm＋1（x）＝（－1）kC（x－k）m＋1

＝x（－1）kC（x－k）m－（－1）kkC（x－k）m

＝x（－1）kC（x－k）m＋x（－1）kC（x－k）m－（m＋1）（－1）kC（x－k）m

＝x·

m！

＋（－x＋m＋1）（－1）kC·

[（x－1）－k]m

＋（－x＋m＋1）·

m!

＝（m＋1）·

＝（m＋1）！

即当n＝m＋1时，等式也成立.

由①②可知，对n∈N*，均有fn（x）＝n！

附加题满分练2

1.（2018·

江苏省盐城中学质检）已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点.求证：

直线PC经过点E.

证明　连结AE，EB，OE，则∠AOE＝∠BOE＝90°

因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，

所以∠APE＝∠AOE＝45°

同理可得∠BPE＝45°

，所以PE是∠APB的平分线.

又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合.

所以直线PC经过点E.

苏州、南通等六市模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C.设变换T1,T2对应的矩阵分别为M＝，N＝，求对△ABC依次实施变换T1,T2后所得图形的面积.

解　依题意，依次实施变换T1,T2所对应的矩阵NM＝ 

＝.

则 

＝， 

＝，

∴A，B，C分别变为点A′，B′，C′.

∴所得图形的面积为×

6×

4＝12.

3.已知两个动点P，Q分别在两条直线l1：

y＝x和l2：

y＝－x上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记＝＋，求动点M的轨迹的普通方程.

解　设M（x，y），则

两式平方相加得x2＋y2＝2.

又x＝sin，y＝sin，θ∈[0，π]，

所以x∈[－1，]，y∈[－1，].

所以动点M轨迹的普通方程为x2＋y2＝2（x，y∈[－1，]）.

4.（2018·

江苏省盐城中学质检）已知a>

0，b>

（a2＋b2＋ab）（ab2＋a2b＋1）≥9a2b2.

证明　因为a>

所以a2＋b2＋ab≥3＝3ab>

ab2＋a2b＋1≥3＝3ab>

所以（a2＋b2＋ab）（ab2＋a2b＋1）≥9a2b2.

5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响.现由甲先投.

（1）求甲获胜的概率；

（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的概率分布与数学期望.

解　

（1）设甲第i次投中获胜的事件为A1（i＝1,2,3），则A1，A2，A3彼此互斥.

甲获胜的事件为A1＋A2＋A3.

P（A1）＝，

P（A2）＝×

×

P（A3）＝2×

2×

所以P（A1＋A2＋A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝＋＋＝.

（2）X的所有可能取值为1,2,3.

则P（X＝1）＝＋×

P（X＝2）＝＋×

P（X＝3）＝2×

1＝.

即X的概率分布为

X

1

2

3

P

所以数学期望E（X）＝1×

＋2×

＋3×

6.设n个正数a1，a2，…，an满足a1≤a2≤…≤an（n∈N*且n≥3）.

（1）当n＝3时，证明：

＋＋≥a1＋a2＋a3；

（2）当n＝4时，不等式＋＋＋≥a1＋a2＋a3＋a4也成立，请你将其推广到n（n∈N*且n≥3）个正数a1，a2，…，an的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.

证明　

（1）因为an（n∈N*且n≥3）均为正实数，

左—右＝＋＋≥＋＋＝0，

所以原不等式＋＋≥a1＋a2＋a3成立.

（2）归纳的不等式为：

＋＋…＋＋＋≥a1＋a2＋…＋an（n∈N*且n≥3）.

记Fn＝＋＋…＋＋＋－（a1＋a2＋…＋an），

当n＝3（n∈N*）时，由

（1）知，不等式成立；

假设当n＝k（k∈N*且k≥3）时，不等式成立，即

Fk＝＋＋…＋＋＋－（a1＋a2＋…＋ak）≥0.

则当n＝k＋1时，

Fk＋1＝＋＋…＋＋＋＋－（a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1）

＝Fk＋＋＋－－－ak＋1

＝Fk＋ak－1ak＋ak＋1＋（ak＋1－ak）≥0＋a＋ak＋1＋（ak＋1－ak）＝（ak＋1－ak），

因为ak＋1≥ak，＋≥2，≤＝2，

所以Fk＋1≥0，

所以当n＝k＋1时，不等式成立.

综上所述，不等式＋＋…＋＋＋≥a1＋a2＋…＋an（n∈N*且n≥3）成立.

附加题满分练3

1.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BF是⊙O的切线，连结CF交⊙O于D，交AB于E.若BC＝BF＝4，CE∶ED＝6∶5，求⊙O的半径.

解　如图，连结BD，

因为BF是⊙O的切线，所以∠DBF＝∠BCF，

因为BC＝BF，所以∠BCF＝∠BFC，

所以∠DBF＝∠BFC，

所以BD＝DF，又∠BEF＋∠BFC＝90°

，∠EBD＋∠DBF＝90°

，

所以∠BEF＝∠EBD，所以BD＝ED，所以ED＝DF.

设CE＝6x，ED＝5x（x>

0），则DF＝5x，

因为BF＝4，根据切割线定理知BF2＝DF·

CF，

所以16＝5x×

16x，解得x＝，

所以EF＝ED＋DF＝2，

因为BF为⊙O的切线，所以AB⊥BF，

所以BE2＋BF2＝EF2，所以BE＝2，

根据相交弦定理知AE·

BE＝CE·

ED，得AE＝3，

所以AB＝5，

因为AB为⊙O的直径，所以⊙O的半径为.

2.若二阶矩阵M满足M＝，求曲线4x2＋4xy＋y2－12x＋12y＝0在矩阵M所对应的变换作用下得到的曲线的方程.

解　记矩阵A＝，det（A）＝（－2）×

（－1）－2×

＝1≠0，

故A－1＝，所以M＝A－1＝＝，

即矩阵M＝.

设曲线4x2＋4xy＋y2－12x＋12y＝0上任意一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下得到点P′（x′，y′）.

所以＝ 

所以所以

又点P（x，y）在曲线4x2＋4xy＋y2－12x＋12y＝0上，代入整理得2x′2＋3y′＝0，

由点P（x，y）的任意性可知，所求曲线的方程为2x2＋3y＝0.

3.已知直线的极坐标方程为ρsin＝，圆M的参数方程为（其中θ为参数）.

（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求圆M上的点到直线的距离的最小值.

解　

（1）极点为直角坐标原点O，

ρsin＝ρ＝，

∴ρsinθ＋ρcosθ＝1，其直角坐标方程为x＋y－1＝0.

（2）将圆的参数方程化为普通方程为x2＋（y＋2）2＝4，圆心为M（0，－2），

∴点M到直线的距离为d＝＝＝，

∴圆上的点到直线距离的最小值为.

4.已知函数f（x）＝|x＋m|＋|x－2|（m>

0）的最小值为4，正实数a，b满足＋＝.

求证：

＋≥m.

证明　易知|x＋m|＋|x－2|≥|（x＋m）－（x－2）|＝|m＋2|，

故由f（x）的最小值为4得|m＋2|＝4，又m>

0，所以m＝2.

又≥2＝3，当且仅当a＝，b＝时等号成立，

故＋≥2＝m，即结论成立.

5.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上.

（1）若P是线段A1B的