23份江苏省高考理科数学二轮复习精准提分Word格式.docx
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填空题满分练(6)105
填空题满分练(7)111
填空题满分练(8)118
压轴小题组合练124
压轴小题组合练(A)124
压轴小题组合练(B)130
压轴小题组合练(C)138
附加题满分练
附加题满分练1
1.如图,过点P作圆O的切线PC,切点为C,过点P的直线与圆O交于点A,B(PA<
PB),且AB的中点为D.若圆O的半径为2,PC=4,圆心O到直线PB的距离为,求线段PA的长.
解 连结OC,OD,因为O为圆心,AB中点为D,
∴OD⊥AB,又PC为圆O的切线,∴OC⊥PC,
由条件可知OD=,∴AB=2=2,
由切割线定理可得PC2=PA·
PB,
即16=PA·
(PA+2),
解得PA=2.
2.(2018·
江苏省盐城中学调研)已知矩阵M=满足:
Mai=λiai,其中λi(i=1,2)是互不相等的实常数,ai(i=1,2)是非零的平面列向量,λ1=1,a2=,求矩阵M.
解 由题意,λ1,λ2是方程f(λ)==λ2-ab=0的两根.
因为λ1=1,所以ab=1.
又因为Ma2=λ2a2,所以
=λ2,从而
所以λ=ab=1.
因为λ1≠λ2,所以λ2=-1,从而a=b=-1,
故矩阵M=.
3.(2018·
苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中,求以点P为圆心且与直线l:
ρsin=2相切的圆的极坐标方程.
解 以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.
则点P的直角坐标为.
将直线l:
ρsin=2的方程变形为:
ρsinθcos-ρcosθsin=2,化为普通方程得x-y+4=0.
∴P到直线l:
x-y+4=0的距离为=2.
∴所求圆的普通方程为2+2=4,化为极坐标方程得ρ=4sin.
4.已知实数x>
0,y>
0,z>
0,证明:
≥.
证明 因为x>
0,
所以≥,≥,
所以≥.
当且仅当x∶y∶z=1∶2∶3时,等号成立.
5.已知点A(1,2)在抛物线F:
y2=2px上.
(1)若△ABC的三个顶点都在抛物线F上,记三边AB,BC,CA所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,求-+的值;
(2)若四边形ABCD的四个顶点都在抛物线F上,记四边AB,BC,CD,DA所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,k4,求-+-的值.
解
(1)由点A(1,2)在抛物线F上,得p=2,
∴抛物线F:
y2=4x,
设B,C,
∴-+=-+=-+=1.
(2)另设D,则-+-=-+-=0.
6.已知fn(x)=Cxn-C(x-1)n+…+(-1)kC(x-k)n+…+(-1)nC(x-n)n,其中x∈R,n∈N*,k∈N,k≤n.
(1)试求f1(x),f2(x),f3(x)的值;
(2)试猜测fn(x)关于n的表达式,并证明你的结论.
解
(1)f1(x)=Cx-C(x-1)=1,
f2(x)=Cx2-C(x-1)2+C(x-2)2=x2-2(x-1)2+(x-2)2=2,
f3(x)=Cx3-C(x-1)3+C(x-2)3-C(x-3)3=x3-3(x-1)3+3(x-2)3-(x-3)3=6.
(2)猜测fn(x)=n!
,n∈N*.
以下用数学归纳法证明.
①当n=1时,f1(x)=1,等式成立.
②假设当n=m(m≥1,m∈N*)时,等式成立,即
fm(x)=(-1)kC(x-k)m=m!
.
当n=m+1时,则fm+1(x)=(-1)kC·
(x-k)m+1.
因为C=C+C,kC=(m+1)·
C,其中k=1,2,…,m,
且C=C,C=C,
所以fm+1(x)=(-1)kC(x-k)m+1
=x(-1)kC(x-k)m-(-1)kkC(x-k)m
=x(-1)kC(x-k)m+x(-1)kC(x-k)m-(m+1)(-1)kC(x-k)m
=x·
m!
+(-x+m+1)(-1)kC·
[(x-1)-k]m
+(-x+m+1)·
m!
=(m+1)·
=(m+1)!
即当n=m+1时,等式也成立.
由①②可知,对n∈N*,均有fn(x)=n!
附加题满分练2
1.(2018·
江苏省盐城中学质检)已知AB是圆O的直径,P是上半圆上的任意一点,PC是∠APB的平分线,E是下半圆的中点.求证:
直线PC经过点E.
证明 连结AE,EB,OE,则∠AOE=∠BOE=90°
因为∠APE是圆周角,∠AOE同弧上的圆心角,
所以∠APE=∠AOE=45°
同理可得∠BPE=45°
,所以PE是∠APB的平分线.
又PC也是∠APB的平分线,∠APB的平分线有且只有一条,所以PC与PE重合.
所以直线PC经过点E.
苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知A,B,C.设变换T1,T2对应的矩阵分别为M=,N=,求对△ABC依次实施变换T1,T2后所得图形的面积.
解 依题意,依次实施变换T1,T2所对应的矩阵NM=
=.
则
=,
=,
∴A,B,C分别变为点A′,B′,C′.
∴所得图形的面积为×
6×
4=12.
3.已知两个动点P,Q分别在两条直线l1:
y=x和l2:
y=-x上运动,且它们的横坐标分别为角θ的正弦,余弦,θ∈[0,π],记=+,求动点M的轨迹的普通方程.
解 设M(x,y),则
两式平方相加得x2+y2=2.
又x=sin,y=sin,θ∈[0,π],
所以x∈[-1,],y∈[-1,].
所以动点M轨迹的普通方程为x2+y2=2(x,y∈[-1,]).
4.(2018·
江苏省盐城中学质检)已知a>
0,b>
(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)≥9a2b2.
证明 因为a>
所以a2+b2+ab≥3=3ab>
ab2+a2b+1≥3=3ab>
所以(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)≥9a2b2.
5.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜,投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.现由甲先投.
(1)求甲获胜的概率;
(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的概率分布与数学期望.
解
(1)设甲第i次投中获胜的事件为A1(i=1,2,3),则A1,A2,A3彼此互斥.
甲获胜的事件为A1+A2+A3.
P(A1)=,
P(A2)=×
×
P(A3)=2×
2×
所以P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.
(2)X的所有可能取值为1,2,3.
则P(X=1)=+×
P(X=2)=+×
P(X=3)=2×
1=.
即X的概率分布为
X
1
2
3
P
所以数学期望E(X)=1×
+2×
+3×
6.设n个正数a1,a2,…,an满足a1≤a2≤…≤an(n∈N*且n≥3).
(1)当n=3时,证明:
++≥a1+a2+a3;
(2)当n=4时,不等式+++≥a1+a2+a3+a4也成立,请你将其推广到n(n∈N*且n≥3)个正数a1,a2,…,an的情形,归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.
证明
(1)因为an(n∈N*且n≥3)均为正实数,
左—右=++≥++=0,
所以原不等式++≥a1+a2+a3成立.
(2)归纳的不等式为:
++…+++≥a1+a2+…+an(n∈N*且n≥3).
记Fn=++…+++-(a1+a2+…+an),
当n=3(n∈N*)时,由
(1)知,不等式成立;
假设当n=k(k∈N*且k≥3)时,不等式成立,即
Fk=++…+++-(a1+a2+…+ak)≥0.
则当n=k+1时,
Fk+1=++…++++-(a1+a2+…+ak+ak+1)
=Fk+++---ak+1
=Fk+ak-1ak+ak+1+(ak+1-ak)≥0+a+ak+1+(ak+1-ak)=(ak+1-ak),
因为ak+1≥ak,+≥2,≤=2,
所以Fk+1≥0,
所以当n=k+1时,不等式成立.
综上所述,不等式++…+++≥a1+a2+…+an(n∈N*且n≥3)成立.
附加题满分练3
1.如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,BF是⊙O的切线,连结CF交⊙O于D,交AB于E.若BC=BF=4,CE∶ED=6∶5,求⊙O的半径.
解 如图,连结BD,
因为BF是⊙O的切线,所以∠DBF=∠BCF,
因为BC=BF,所以∠BCF=∠BFC,
所以∠DBF=∠BFC,
所以BD=DF,又∠BEF+∠BFC=90°
,∠EBD+∠DBF=90°
,
所以∠BEF=∠EBD,所以BD=ED,所以ED=DF.
设CE=6x,ED=5x(x>
0),则DF=5x,
因为BF=4,根据切割线定理知BF2=DF·
CF,
所以16=5x×
16x,解得x=,
所以EF=ED+DF=2,
因为BF为⊙O的切线,所以AB⊥BF,
所以BE2+BF2=EF2,所以BE=2,
根据相交弦定理知AE·
BE=CE·
ED,得AE=3,
所以AB=5,
因为AB为⊙O的直径,所以⊙O的半径为.
2.若二阶矩阵M满足M=,求曲线4x2+4xy+y2-12x+12y=0在矩阵M所对应的变换作用下得到的曲线的方程.
解 记矩阵A=,det(A)=(-2)×
(-1)-2×
=1≠0,
故A-1=,所以M=A-1==,
即矩阵M=.
设曲线4x2+4xy+y2-12x+12y=0上任意一点P(x,y)在矩阵M对应的变换作用下得到点P′(x′,y′).
所以=
所以所以
又点P(x,y)在曲线4x2+4xy+y2-12x+12y=0上,代入整理得2x′2+3y′=0,
由点P(x,y)的任意性可知,所求曲线的方程为2x2+3y=0.
3.已知直线的极坐标方程为ρsin=,圆M的参数方程为(其中θ为参数).
(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求圆M上的点到直线的距离的最小值.
解
(1)极点为直角坐标原点O,
ρsin=ρ=,
∴ρsinθ+ρcosθ=1,其直角坐标方程为x+y-1=0.
(2)将圆的参数方程化为普通方程为x2+(y+2)2=4,圆心为M(0,-2),
∴点M到直线的距离为d===,
∴圆上的点到直线距离的最小值为.
4.已知函数f(x)=|x+m|+|x-2|(m>
0)的最小值为4,正实数a,b满足+=.
求证:
+≥m.
证明 易知|x+m|+|x-2|≥|(x+m)-(x-2)|=|m+2|,
故由f(x)的最小值为4得|m+2|=4,又m>
0,所以m=2.
又≥2=3,当且仅当a=,b=时等号成立,
故+≥2=m,即结论成立.
5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=2,AB⊥AC,M是棱BC的中点,点P在线段A1B上.
(1)若P是线段A1B的