最新新人教A版高中数学必修一222第2课时对数函数及其性质的应用学案Word格式.docx

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奇偶性

非奇非偶函数

要点一　对数值的大小比较

例1　比较下列各组中两个值的大小：

（1）ln0.3，ln2；

（2）loga3.1，loga5.2（a＞0，且a≠1）；

（3）log30.2，log40.2；

（4）log3π，logπ3.

解　

（1）因为函数y＝lnx是增函数，且0.3＜2，

所以ln0.3＜ln2.

（2）当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；

当0＜a＜1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.

（3）方法一　因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜，即log30.2＜log40.2.

方法二　如图所示，

由图可知log40.2＞log30.2.

（4）因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.

同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.

规律方法　比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．

1．若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．

2．若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．

3．若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较．

4．若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．

跟踪演练1　

（1）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（　　）

A．a＞c＞bB．b＞c＞a

C．c＞b＞aD．c＞a＞b

（2）已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则（　　）

A．a＞b＞cB．a＞c＞b

C．b＞a＞cD．c＞a＞b

答案　

（1）D　

（2）B

解析　

（1）a＝log32＜log33＝1；

c＝log23＞log22＝1，

由对数函数的性质可知log52＜log32，

∴b＜a＜c，故选D.

（2）a＝log23.6＝log43.62，函数y＝log4x在（0，＋∞）上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，所以a＞c＞b，故选B.

要点二　对数函数单调性的应用

例2　求函数y＝log（1－x2）的单调增区间，并求函数的最小值．

解　要使y＝log（1－x2）有意义，则1－x2＞0，

∴x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为（－1,1）．

令t＝1－x2，x∈（－1,1）．

当x∈（－1,0]时，x增大，t增大，y＝logt减小，

∴x∈（－1,0]时，y＝log（1－x2）是减函数；

当x∈[0,1）时，y＝log（1－x2）是增函数．

故函数y＝log（1－x2）的单调增区间为[0,1），且函数的最小值ymin＝log（1－02）＝0.

规律方法　1.求形如y＝logaf（x）的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f（x）＞0，先求定义域．

2．求此类型函数单调区间的两种思路：

（1）利用定义求证；

（2）借助函数的性质，研究函数t＝f（x）和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf（x）的单调性．

跟踪演练2　

（1）函数f（x）＝|logx|的单调递增区间是（　　）

A.B．（0,1]

C．（0，＋∞）D．[1，＋∞）

（2）设函数f（x）＝则满足f（x）≤2的x的取值范围是（　　）

A．[－1,2]B．[0,2]

C．[1，＋∞）D．[0，＋∞）

答案　

（1）D　

（2）D

解析　

（1）f（x）＝当x≥1时，t＝logx是减函数，f（x）＝－logx是增函数．

∴f（x）的单调增区间为[1，＋∞）．

（2）f（x）≤2⇔或⇔0≤x≤1或x＞1，故选D.

要点三　对数函数的综合应用

例3　已知函数f（x）＝loga（a＞0且a≠1），

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断函数的奇偶性和单调性．

解　

（1）要使此函数有意义，

则有或

解得x＞1或x＜－1，

此函数的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

（2）f（－x）＝loga＝loga

＝－loga＝－f（x）．

又由

（1）知f（x）的定义域关于原点对称，

∴f（x）为奇函数．

f（x）＝loga＝loga（1＋），

函数u＝1＋在区间（－∞，－1）和区间（1，＋∞）上单调递减．

所以当a＞1时，f（x）＝loga在（－∞，－1），（1，＋∞）上递减；

当0＜a＜1时，f（x）＝loga在（－∞，－1），（1，＋∞）上递增．

规律方法　1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．

2．求函数的单调区间有两种思路：

（1）易得到单调区间的，可用定义法来求证；

（2）利用复合函数的单调性求得单调区间．

跟踪演练3　已知函数f（x）＝loga（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）探究函数f（x）在（1，＋∞）上的单调性．

解　

（1）由已知条件得f（－x）＋f（x）＝0对定义域中的x均成立．

∴loga＋loga＝0，

即·

＝1，

∴m2x2－1＝x2－1对定义域中的x均成立．

∴m2＝1，即m＝1（舍去）或m＝－1.

（2）由

（1）得f（x）＝loga.

设t＝＝＝1＋，

∴当x1＞x2＞1时，

t1－t2＝－＝＜0，

∴t1＜t2.

当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2），

∴当a＞1时，f（x）在（1，＋∞）上是减函数．

同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，＋∞）上是增函数．

1．函数y＝lnx的单调递增区间是（　　）

A．[e，＋∞）B．（0，＋∞）

C．（－∞，＋∞）D．[1，＋∞）

答案　B

解析　函数y＝lnx的定义域为（0，＋∞），其在（0，＋∞）上是增函数，故该函数的单调递增区间为（0，＋∞）．

2．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（　　）

A．a＜c＜bB．b＜c＜a

C．a＜b＜cD．b＜a＜c

答案　D

解析　∵1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，

∴1＞a＝log54＞log53＞b＝（log53）2.

又∵c＝log45＞log44＝1.∴c＞a＞b.

3．函数f（x）＝的定义域是（　　）

A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）

C．（－∞，2）D．（1,2]

解析　由题意有解得1＜x≤2.

4．函数f（x）＝的值域为________．

答案　（－∞，2）

解析　当x≥1时，logx≤log1＝0，∴当x≥1时，f（x）≤0.当x＜1时，0＜2x＜21，即0＜f（x）＜2.因此函数f（x）的值域为（－∞，2）．

5．函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间是________．

答案　

解析　要使y＝log5（2x＋1）有意义，则2x＋1＞0，即x＞－，而y＝log5u为（0，＋∞）上的增函数，当x＞－时，u＝2x＋1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.

1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解．

2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．

一、基础达标

1．若集合A＝，则∁RA等于（　　）

A．（－∞，0]∪

B.

C．（－∞，0]∪

D.

答案　A

解析　logx≥，即logx≥log，∴0＜x≤，

即A＝，∴∁RA＝.故选A.

2．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则（　　）

C．b＞a＞cD．b＞c＞a

解析　a＝log3π＞1，b＝log2＝log23∈，c＝log3＝log32∈，故有a＞b＞c.

3．函数f（x）＝logax（0＜a＜1）在[a2，a]上的最大值是（　　）

A．0B．1C．2D．a

答案　C

解析　∵0＜a＜1，∴f（x）＝logax在[a2，a]上是减函数，

∴f（x）max＝f（a2）＝logaa2＝2.

4．函数f（x）＝lg（）的奇偶性是（　　）

A．奇函数B．偶函数

C．即奇又偶函数D．非奇非偶函数

解析　f（x）定义域为R，

∵f（－x）＋f（x）

＝lg（）＋lg（）

＝lg＝lg1＝0，

∴f（x）为奇函数，选A.

5．函数y＝log（－x2＋4x＋12）的单调递减区间是（　　）

A．（－∞，2）B．（2，＋∞）

C．（－2,2）D．（－2,6）

解析　y＝logu，u＝－x2＋4x＋12.

令u＝－x2＋4x＋12＞0，得－2＜x＜6.

∴x∈（－2,2）时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，

∵y＝log（－x2＋4x＋12）为减函数，

∴函数的单调减区间是（－2,2）．

6．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，且f（）＝0，则不等式f（log4x）＜0的解集是________．

答案　{x|＜x＜2}

解析　由题意可知，f（log4x）＜0⇔－＜log4x＜⇔log44＜log4x＜log44⇔＜x＜2.

7．已知f（x）＝（logx）2－3logx，x∈[2,4]．试求f（x）的最大值与最小值．

解　令t＝logx，

则y＝t2－3t＝（t－）2－，

∵2≤x≤4，∴log4≤logx≤log2，

即－2≤t≤－1.

可知y＝（t－）2－在[－2，－1]上单调递减．

∴当t＝－2时，y取最大值为10；

当t＝－1时，y取最小值为4.

故f（x）的最大值为10，最小值为4.

二、能力提升

8．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（　　）

A．c＞b＞aB．b＞c＞a

C．a＞c＞bD．a＞b＞c

解析　a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，

b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，

c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，

∵log32＞log52＞log72，∴a＞b＞c，故选D.

9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增．若实数a满足f（log2a）＋f（loga）≤2f

（1），则a的取值范围是（　　）

A．[1,2]B.

C．[，2]D．（0,2]

解析　∵f（loga）＝f（－log2a）＝f（log2a），∴原不等式可化为f（log2a）≤f

（1）．又∵f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.∵f（x）是偶函数，∴f（log2a）≤f（－1）．又f（x）在区间（－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.综上可知≤a≤2.

10．已知函数f（x）＝若f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为________．

答案　{a|2＜a≤3}

解析　∵函数f（x）是（－∞，＋∞）上的