直线与圆培优讲义Word文档下载推荐.docx
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斜率（前提是斜率都存在）
特例----垂直时：
<
1>
；
<
2>
斜率都存在时：
斜率都不存在时：
两直线都与x轴垂直。
③重合：
二、方程与公式：
1、直线的五个方程：
①点斜式：
将已知点直接带入即可；
②斜截式：
将已知截距直接带入即可；
③两点式：
将已知两点直接带入即可；
④截距式：
将已知截距坐标直接带入即可；
⑤一般式：
，其中A、B不同时为0
用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：
直接将两直线方程联立，解方程组即可
3、距离公式：
①两点间距离：
②点到直线距离：
③平行直线间距离：
4、中点、三分点坐标公式：
已知两点
①AB中点：
②AB三分点：
靠近A的三分点坐标
靠近B的三分点坐标
中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。
5.直线的对称性问题
已知点关于已知直线的对称:
设这个点为P（x0，y0）,对称后的点坐标为P’（x，y），则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。
3、解题指导与易错辨析：
1、解析法（坐标法）：
①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；
②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；
③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。
2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：
①的最小值：
找对称点再连直线，如右图所示：
②的最大值：
三角形思想“两边之差小于第三边”；
③的最值：
函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
3、直线必过点：
①含有一个参数----y=（a-1）x+2a+1=>
y=（a-1）（x+2）+3
令：
x+2=0=>
必过点（-2,3）
②含有两个参数----（3m-n）x+（m+2n）y-n=0=>
m（3x+y）+n（2y-x-1）=0
令：
3x+y=0、2y-x-1=0联立方程组求解=>
必过点（-1/7,3/7）
4、易错辨析：
①讨论斜率的存在性：
解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：
斜率不存在时，是否满足题意；
斜率存在时，斜率会有怎样关系。
②注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；
（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。
）
③直线到两定点距离相等，有两种情况：
直线与两定点所在直线平行；
直线过两定点的中点。
圆的方程
1.定义：
一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.
2.圆的方程表示方法：
第一种：
圆的一般方程——其中圆心，半径.
当时，方程表示一个圆，
当时，方程表示一个点.
当时，方程无图形.
第二种：
圆的标准方程——.其中点为圆心，为半径的圆
第三种：
圆的参数方程——圆的参数方程：
（为参数）
注：
圆的直径方程：
已知
3.点和圆的位置关系：
给定点及圆.
①在圆
②在圆上
③在圆外
4.直线和圆的位置关系：
设圆圆：
直线：
圆心到直线的距离.
①时，与相切；
②时，与相交；
，
③时，与相离.
5、圆的切线方程：
①一般方程若点（x0,y0）在圆上，则（x–a）（x0–a）+（y–b）（y0–b）=R2.特别地，过圆上一点的切线方程为.（注:
该点在圆上，则切线方程只有一条）
②若点（x0,y0）不在圆上，圆心为（a,b）则，联立求出切线方程.（注：
过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。
6.圆系方程：
过两圆的交点的圆方程：
假设两圆方程为：
C1:
x2+y2+D1x+E1y+F1=0C2:
x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为：
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0
过两圆的交点的直线方程：
x2+y2+D1x+E1y+F1-x2+y2+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）
7.与圆有关的计算：
弦长的计算：
AB=2*√R2-d2其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离
AB=（√1+k2）*∣X1-X2∣其中k是直线的斜率，X1与X2是直线与圆的方程联
立之后得到的两个根
过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线
圆内的最长弦是直径
8.圆的一些最值问题
①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径
②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径
③假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。
④假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：
设T=x+y或T=x-y，在圆上找到点（X,Y）使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。
9.圆的对称问题
①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆
的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。
②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆
心坐标
1.【2015高考重庆，理8】已知直线l：
x+ay-1=0（aR）是圆C：
的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|= （ ）
A、2B、C、6D、2.【2015高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则（）
A．2B．8C．4D．10
3.【2015高考广东，理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是（）
A．或B.或
C.或D.或
4.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
（A）或（B）或（C）或（D）或
5.【2015高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为．
6.【2015高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），且．
（Ⅰ）圆的标准方程为；
（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：
①；
②；
③．
其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）
7.【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
8.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：
若存在，求出的取值范围；
若不存在，说明理由．
14.（2013·
新课标全国Ⅱ高考文科·
Ｔ20）在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。
（1）求圆心的轨迹方程；
（2）若点到直线的距离为，求圆的方程。
作业
一、选择题
1.（2013·
重庆高考文科·
Ｔ4）设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（）
A.6B.4C.3D.2
2.（2013·
天津高考文科·
T5）已知过点P（2,2）的直线与圆（x-1）2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a= （ ）
A.B.1C.2D.
3.（2013·
安徽高考文科·
Ｔ6）直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为（）
A.1B.2C.4D.
4.（2013·
重庆高考理科·
Ｔ7）已知圆：
，圆：
，、分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（）
A.B.C.D.
5.（2013·
广东高考文科·
Ｔ7）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是（）
A．B．
C．D．
6.（2013·
陕西高考文科·
Ｔ8）已知点M（a,b）在圆外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）
A.相切B.相交C.相离D.不确定
7.（2013·
江西高考理科·
Ｔ9）过点（，0）引直线l与曲线相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（）
A.B.C.D.
8.（2013·
山东高考理科·
Ｔ9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为
（）
A.2x+y-3=0
B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0
D.4x+y-3=0
二、填空题
9.（2013·
山东高考文科·
Ｔ13）过点（3，1）作圆的弦，其中最短的弦长为__________
10.（2013·
浙江高考文科·
T13）直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于 .
11.（2013·
江西高考文科·
Ｔ14）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是.
12.（2013·
湖北高考文科·
Ｔ14）已知圆：
，直线：
（）.设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则.
三、解答题
13.（2013·
江苏高考数学科·
T17）如图，在平面直角坐标系中，点，直线。
设圆的半径为，圆心在上。
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。
15.（2013·
四川高考文科·
Ｔ20）
已知圆的方程为，点是坐标原点。
直线与圆交于两点。
（1）求的取值范围；
（2）设是线段上的点，且。
请将表示为的函数。
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