全国初中数学竞赛试题及答案Word文件下载.docx
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4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;
拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;
又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是()
(A)2004(B)2005(C)2006(D)2007
5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,交AC于点Q.若QP=QO,则
的值为()
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c-a=2005.若a<
b,则a+b+c的最大值为.
7.如图,面积为
的正方形DEFG内接于
面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c为整数,
且b不能被任何质数的平方整除,则
的值
等于.
8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A、C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.
9.已知0<
a<
1,且满足
,则
的值等于
.(
表示不超过x的最大整数)
10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;
第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是.
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11.已知
为互质的正整数(即
是正整数,且它们的最大公约数为1),且
≤8,
.
(1)试写出一个满足条件的x;
(2)求所有满足条件的x.
12.设
为互不相等的实数,且满足关系式
①
②
求a的取值范围.
13.如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;
连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:
PE·
AC=CE·
KB.
14.10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求n的最小值.
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
答:
C.
解:
因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处.
故选C.
由已知可得
.又
=8,所以
解得a=-9
B.
设点A的坐标为(a,a2),点C的坐标为(c,c2)(|c|<
|a|),则点B的坐标为
(-a,a2),由勾股定理,得
,
所以
由于
,所以a2-c2=1,故斜边AB上高h=a2-c2=1
故选B.
根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°
.于是,剪过k次后,可得(k+1)个多边形,这些多边形的内角和为(k+1)×
360°
因为这(k+1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为34×
(62-2)×
180°
=34×
60×
,其余多边形有(k+1)-34=k-33(个),而这些多边形的内角和不少于(k-33)×
.所以(k+1)×
≥34×
+(k-33)×
,解得k≥2005.
当我们按如下方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;
再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便34个六十二边形和33×
58个三角形.于是共剪了
58+33+33×
58=2005(刀).
D.
如图,设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,
QA=r-m.
在⊙O中,根据相交弦定理,得QA·
QC=QP·
QD.
即(r-m)(r+m)=m·
QD,所以QD=
连结DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2,
即
,解得
所以,
故选D.
5013.
由
,得
因为
,a<
b,a为整数,所以,a的最大值为1002.
于是,a+b+c的最大值为5013.
设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则
由△ADG∽△ABC,可得
于是
由题意,
,所以
104.
设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x米,乙走了46×
=368x米.于是368(x-1)+800-400(x-1)>
400,
所以,12.5≤x<
13.5.故x=13,此时
的值等于.(
6.
因为0<
,…,
等于0或1.由题设知,其中有18个等于1,所以
=0,
=1,
,1≤
<2.
故18≤30a<19,于是6≤10a<
=6.
282500.
设原来电话号码的六位数为
,则经过两次升位后电话号码的八位数为
.根据题意,有81×
=
记
,于是
解得x=1250×
(208-71a).
因为0≤x<
,所以0≤1250×
(208-71a)<
,故
≤
因为a为整数,所以a=2.于是x=1250×
(208-71×
2)=82500.
所以,小明家原来的电话号码为282500.
(1)试写出一个满足条件的x;
(2)求所有满足条件的x.
(1)
满足条件.……………5分
(2)因为
,为互质的正整数,且
≤8,所以
,即
当a=1时,
,这样的正整数
不存在.
当a=2时,
=1,此时
当a=3时,
=2,此时
当a=4时,
,与
互质的正整数
当a=5时,
=3,此时
当a=6时,
当a=7时,
=3,4,5此时
当a=8时,
=5,此时
所以,满足条件的所有分数为
.………………15分
求a的取值范围.
解法一:
由①-2×
②得
,所以a>
-1.
当a>
-1时,
=
.………………10分
又当
时,由①,②得
,③
④
将④两边平方,结合③得
化简得
,故
解得
,或
.
所以,a的取值范围为a>
-1且
.………………………15分
解法二:
.又
为一元二次方程
⑤
的两个不相等实数根,故
另外,当
时,由⑤式有
或
,解得,
当
时,同理可得