基于PEG算法的LDPC码构造与改进文档格式.docx
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王俊义
职称：
教授
时间：
2015.11.17
基于PEG算法的LDPC码构造及改进
摘要：
渐进边增长（PEG）算法构造的低密度奇偶校验码（LDPC）在保证局部围长最大时仍有较多数目的短环。
针对该问题，提出一种新的准循环LDPC码构造方法。
该方法在PEG算法中采用环多项式（PC）标记，利用PC-PEG方法构造的矩阵作为基矩阵，并对其进行准循环扩展，以消除基矩阵中的短环。
实验结果表明，该方法构造的LDPC码可大幅减少短环的数目。
同时由于引入了准循环结构，能降低编码复杂度。
为了兼顾LDPC码较高的纠错性能和较简单的硬件实现，提出了一种基于PEG算法的准循环LDPC码校验矩阵的构造方法，该方法首先利用PEG算法构造基矩阵，然后利用提出的移位参数公式来构造循环移位矩阵，再用循环移位矩阵和全零矩阵对基矩阵进行优化扩展，形成的校验矩阵最短环长至少为8环。
该方法具有与PEG算法非常接近的纠错性能，尤其
是当信噪比高于1.2dB时要优于PEG直接构造法，而硬件实现比PEG算法简单，且参数选择灵活方便。
关键词：
低密度奇偶校验码；
渐进边增长算法；
准循环结构；
短环；
循环置换矩阵；
基矩阵
1、概述
PEG（progressedgegrowth）算法是当前公认的对中、短码长LDPC码构造非常有效的算法之一，它采取逐边添加的力一式构造码的Tanner图，在满足给定度分布的条件下能使Tanner图中短环数量尽可能少，使码的圈长尽可能大。
但由于其采用随机构造的做法，使该类码的H矩阵缺乏结构性，编码复杂度高，尤其是对长码而言，其构造及编码实现的运算量更是剧增。
基于PEG算法的QC-LDPC码是首先以PEG算法构造，一个维数较小的一致校验矩阵，称为基矩阵，再将基矩阵中的“基矩阵维数由编码后的码长n和循环置换矩阵的维数P及码率决定。
文献f}l给出了一种基于PEG算“1”元素和‘0’元素分别替换为pxp维的循环置换矩阵（或单位矩阵的循环移位）和全零矩阵。
法的QC-LDPC码构造力一法，但在扩展的过程中只消除了部分6环，没有将圈长扩大。
文献f}l给出了另一种扩展PEG算法构造的基矩阵的力一法，但由于PEG算法的非结构化，这种算法只是扩大了基矩阵中的一部分环的长度，不能确定是否扩大了圈长。
本文提出的基于PEG算法的QC-LDPC码构造力一法成功扩大了圈长，同时扩大了部分其他长度的环。
算法中用到了PEG算法，环搜索算法，单位矩阵的循环移位值的选择算法，并通过仿真验证了改进力一法的有效性。
胡晓宇等人提出了PEG算法，MacKay认为PEG码是目前最佳的Gallager码（码长在500以上）。
我们可以用图例和算法流程来解释这种构造力一法。
PEG算法不仅可以构造规则码，而且可以构造非规则码，算法和上面基本类似，只要把变量节点按度数升序排列即可。
PEG算法可以获得尽量大的局部最小圈长。
本文的环搜索算法采用的是迪科斯彻算法（Dijkstra）的思想，该算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·
迪科斯彻（EdsgerWybeDijkstra）1959年发明的。
算法解决的是有向图中最短路径问。
通过该算法可以找到所有长度为L的环长。
但是上述算法的计算量很高，与校验矩阵的列数成线性关系，计算过程中的存储量要求也很高。
由式
（1）准循环矩阵中环的形成条件知，当回路中的各顶点的移位值当且仅当满足式
（1）的等式时矩阵中形成长度为Zt的环·
其中，Sak/3k为H矩阵中回路的第k个顶点所在的循环子矩阵的移位值。
如果选择适当的一组循环移位值，使其不满足上面的等式，就能消除长度为Zt的环。
由等式的性质，我们知道当等式中只有一个变量时才能根据等式关系求出它的确切值。
在本算法中也是将首先确定上面等式
（1）中的2t-1个值，然后根据式
（1）求出不能选择的循环移位值。
由QC-LDPC的校验矩阵的环结构可以看出，如果依次确定各列中循环子矩阵的移位值，并且只考虑当前列与其前的所有列形成的环，那么通过去除满足等式（
（1）的循环移位值，可得到可选的循环移位值的集合，此集合任一个移位值都能消除该列与其前的所有列形成的环。
算法的具体步骤如下:
1.如果循环矩阵的维数是L，基矩阵中每个块元素可选的移位值的集合是（1,2,3...L-1）o
2.矩阵中第一列的循环子矩阵的移位值从他们的移位值集合中随机产生。
3.从矩阵的第二列开始，每一列的第一个循环子矩阵的移位值在1到L-1中随机产生，然后产生的记录循环的矩阵中搜索它与前面的列是否形成环，如果形成环，就根据上面的等式计算出此列的其他循环子矩阵不应该选择的移位值，并从他的可选的移位值集合中去除这一元素。
4.在循环子矩阵可选的移位值集合中随机选择移位值。
5.逐列进行步骤3中的操作，确定矩阵中所有块元素的移位值。
利用上述算法，若一个块元素被包含在小于L-1个环中，必然会消除矩阵中包含这一块元素的所有长度为2t的环;
若大于L一1也有很大可能消除所有长度为2t的环。
构造基于PEG算法的准循环低密度奇倡检验码的步骤如下:
1.根据要生成的准循环低密度奇倡奇倡校验码的码长，码率，校验矩阵的行重，列重的要求确定基矩阵的码长、码率、行重、列重，以及循环置换矩阵的维数L;
2.利用PEG算法生成一个基矩阵;
3.利用环搜索程序找到矩阵中的短环;
4.利用搜索到的记录环的矩阵统计出经过每一列的环的数量，按照环数的降序对矩阵的列重新排序;
5.搜索新生成的校验矩阵中的短环;
6.应用移位值选择程序确定块元素的移位值;
7.将列的顺序重排恢复成原矩阵;
8.根据不同的移位值选择循环置换矩阵进行扩展，对于基矩阵中的零元素用L维的全零力一阵扩展。
利用上述算法可以使生成的准循环低密度奇倡校验码的圈长增加2，使矩阵中的短环减少。
此算法的缺点是计算量较大，适用于在基矩阵较小，需要消除的环长也较小的情况。
本论文中利用此力一法构造了列重为3,圈长为8,码率为0.5，码长分别为504,1008以及码率为0.33，码长为816的准循环低密度奇倡校验码。
2、PEG构造法
PEG算法是一种逐边增加的算法，每增加一条边时按照树形图展开'
展开终止的条件为当前校验节点集合的补集不为空集，再展开一步，校验节点集合的补集为空集则终止，或者展开到校验节点数不再随展开而增加时停止。
这样虽然可以保证每增加一条边可以使局部围长最大，但是该构造方法短环数较多，较多的短环数将严重影响译码性能，为此，本文引入一种PC标记法以减少短环的数目。
图1是以变量节点K为根节点展开的树形图，节点的环多项式计算方法如下：
（1）初始化根节点的多项式值为1,图中PC（K）=1;
（2）子节点的多项式PC值等于父节点乘以尤，如果1个子节点有2个或者更多的父节点，则该节点的多项式PC值计算如下：
首先把所有父节点的PC值相加；
然后把得到的值乘以X，即为该子节点的C值，例如：
7有2个父节点，则7的值为2x^3。
同一个校验节点可能在展开的树形图中多次出现，则校验节点c7的多项式PC值可以描述如下：
PC（Cj）=wxx^2k~x+w2x2（t+1）-1+…，A=1,2，…
其中，wvc24—1表示添加叫条^:
的环；
w2x2（t+1H表示添加w2条2（k+1）的环。
如果校验节点Cp在树形图中没有出现，则Cp的多项式PC值为0，选择Cp建立边将不会导致任何环长小于2（/+2）的环，I为树形图展开的最大层数。
PCPEG构造法采用比较各校验节点的多项式PC值进行新增边的选择：
比较校验节点的环多项式的最小幂次，然后从各校验节点的最小幂次集合中选择其中的最大值，这样可以保证该校验节所形成的最短环最大。
如果这样的校验节点不唯一，进一步比较系数值，选择系数值最小的可以保证该短环的数目最小。
在实际构造中，可以给x赋一个值（令x=0.1），将多项式简化为一个代数值，从而将比较环多项式的幂次和系数值简化为比较环多项式的值，将两步简化为一步比较。
简化后PCPEG构造法的复杂度没有明显增加，其性能也不会发生恶化。
采用PCPEG构造法构造一个码长为n包含个校验式的LDPC码，具体步骤如下所示:
对于每一个变量节点=1,2，
（1）为变量节点K添加第一条边时，选择度数最小的校验节点连接，添加其他边时转步骤
（2）变量节点和校验节点PC值初始化。
1）变量节点值初始化
2）校验节点PC值初始化，PC（Ck）=0
（3）以G为顶点按树形图展开，并逐层更新变量节点和校验节点的PC值。
（4）若校验节点Cj由变量节点V;
展开得到，校验节点的PC值更新如下：
PC（CJ）=PC（CJ）+xPC（Vi）
（5）若变量节点&
由校验节点展开得到，变量节点1的C值更新如下：
PC（Vq）=PC（Vq）+xPC（Cp）
（4）选择PC值最小的校验节点作为新增连接边，即
Cj=argmin（PC（C））。
其中，Vc为可选校验节点的集合。
（5）返回步骤
（2）完成变量节点其他边的建立。
2.1PEG算法的原理
PEG（ProgressiveEdge}rowth）算法[[9]是一种能有效构造具有较大环长LDPC码校验矩阵的算法，被Mackay称为是目前所知道的最好的LDPC码的构造方法，尤其对构造短长度的LDPC码，如500,1000,2000等是十分有效的。
PEG算法是在Tanner图上某一个节点（比如变量节点）出发，不断添加节点的边，给每个节点添加边时，保证在该节点处的环长最大，从而使最终构造的Tanner图的短环数量尽可能少而码的Girth尽可能大。
尽管PEG算法每次添加新边时能保证环长度最大，但不能对Tanner图中的环结构进行全局优化，所以采用PEG算法构造的LDPC码，其Tanner图中的环结构复杂，特别是在长码长时由于环交织的问题，存在大量公共节点，会在一定程度上降低迭代译码算法性能，因此PEG算法一般适用于短码的构造。
2.2LDPC码校验矩阵的构造方法
PEG算法在短码时表现出优异的性能，准循环LDPC码具有实现方便的特点，但准循LDPC码在构造检验矩阵时要先构造出基矩阵。
本文将两者相结合来构造基于PEG算法的准循环校验矩阵，即先用PEG算法构造出短码的校验矩阵—基矩阵A，然后用循环置换矩阵I}Phi）和全‘`0”方阵对其扩展而得到准循环LDPC码校验矩阵H，这样不但弥补了PEG算法在长码构造时的缺陷，还可用简单的线性移位寄存器对LDPC码进行编码，减少了校验矩阵的存储空间，从而便于硬件实现。
具体的构造步骤如下:
（1）确定需要设计的准循环LDPC码校验矩阵H的行数mb（也即准循环LDPC码的校验位长度）、列数nb（也即准循环LDPC码的码长）、节点度分布等参数。
（2）应用PEG算法构造满足度分布要求的基矩阵A，其维数为mXn，搜索并记录最短的环及其中顶点的位置。
（3）对基矩阵A的优化扩展。
先根据基矩阵A中元素‘`1”的位置，按式（6）计算循环移位次数的值;
再找出基矩阵A中各短环顶点元素“1”的的值后判断是否满足式（5），如果不满足则对其中的值进行修正，直到满足为止;
最后对基矩阵A中的元素“1”用维数为bxb的对单位方阵右循环，（修正值）次后的循环置换矩阵代替。
（4）重复步骤（3），直到环记录中所有环的“1"
元素被替换。
（5）对基矩阵A中不属于短环的“1”元素用维数为bxb的循环置换矩阵代替。
（6）对基矩阵A中的元素0o用维数为bxb的全“0”方阵代替。
这样就构造出了维数为mbxnb，码率为R=（nb-mb）/nb=l-m/n
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