高考数学一轮复习第八章立体几何85直线平面垂直的判定与性质学案理Word文件下载.docx

高考数学一轮复习第八章立体几何85直线平面垂直的判定与性质学案理Word文件下载.docx

《高考数学一轮复习第八章立体几何85直线平面垂直的判定与性质学案理Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第八章立体几何85直线平面垂直的判定与性质学案理Word文件下载.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

上海六校联考]已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（　　）

A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥α

C．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β

[答案]　C

[解析]　由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．

（2）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°

，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：

①CD⊥AE；

②PD⊥平面ABE.

[证明]　①在四棱锥P－ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC.

而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

②由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°

，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由①知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD.

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.

又AB⊥AD，且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD.

又AB∩AE＝A，

∴PD⊥平面ABE.

[点石成金]　直线和平面垂直判定的四种方法

（1）利用判定定理；

（2）利用判定定理的推论（a∥b，a⊥α⇒b⊥α），如典题1的第

（1）题中选项C；

（3）利用面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；

（4）利用面面垂直的性质．

当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

[2017·

湖北武汉调研]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.

（1）求证：

BD⊥平面PAC；

（2）若PA＝1，AD＝2，求三棱锥E－BCD的体积．

（1）证明：

∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.

∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，

∴PC⊥BD.

又PA∩PC＝P，

∴BD⊥平面PAC.

（2）解：

如图所示，设AC与BD的交点为O，连接OE.

∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE.

由

（1）知，BD⊥平面PAC，

∴BD⊥AC.

由题设条件知，四边形ABCD为正方形．

由AD＝2，得AC＝BD＝2，OC＝.

在Rt△PAC中，

PC＝＝＝3.

易知Rt△PAC∽Rt△OEC，

∴＝＝，即＝＝，

∴OE＝，CE＝.

∴VE－BCD＝S△CEO·

BD

＝·

OE·

CE·

＝×

×

2＝.

考点2　平面与平面垂直的判定与性质

平面与平面垂直的判定定理与性质定理

垂线　l⊂β　l⊥α　交线　α⊥β　l⊂β　

α∩β＝a　l⊥a

定理的应用：

注意由平面到空间的思维的变化．

（1）已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为________．

平行、相交或异面

解析：

在同一个平面内，由题设条件可得a∥c，在空间中，则直线a与c的位置关系不确定，即平行、相交、异面都有可能．

（2）已知直线a和平面α，β，若α⊥β，a⊥β，则a与α的位置关系为________．

a∥α或a⊂α

易得a∥α或a⊂α.

垂直关系的证明及应用：

直接法．

（1）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°

，∠BAD＝90°

.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，平面ADC________平面ABC.

⊥

在四边形ABCD中，由已知可得BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，

且平面ABD∩平面BCD＝BD，

所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB.

又AD⊥AB，AD∩CD＝D，

所以AB⊥平面ADC，

所以平面ABC⊥平面ADC.

（2）如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝2，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________．

6

连接AC，交BD于点O，

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

因为AB＝AD＝3，所以BD＝3，且AC⊥BD.

又因为BB1⊥底面ABCD，所以BB1⊥AC.

又DB∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，

所以AO为四棱锥A－BB1D1D的高，且AO＝BD＝.

因为矩形BB1D1D的面积

S＝BD·

BB1＝3×

2＝6，

所以四棱锥A－BB1D1D的体积

V＝S·

AO＝×

6×

＝6.

[典题2]　如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：

（1）CE∥平面PAD；

（2）平面EFG⊥平面EMN.

[证明]　

（1）证法一：

取PA的中点H，连接EH，DH.

因为E为PB的中点，

所以EH∥AB，EH＝AB.

又AB∥CD，CD＝AB，

所以EH∥CD，EH＝CD，

因此四边形DCEH是平行四边形．

所以CE∥DH.

又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，

所以CE∥平面PAD.

证法二：

连接CF.

因为F为AB的中点，所以AF＝AB.

又CD＝AB，所以AF＝CD.

又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．

因此CF∥AD.

又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以CF∥平面PAD.

因为E，F分别为PB，AB的中点，

所以EF∥PA.

又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

因为CF∩EF＝F，

故平面CEF∥平面PAD.

又CE⊂平面CEF，

（2）因为E，F分别为PB，AB的中点，

又AB⊥PA，所以AB⊥EF.

同理可证AB⊥FG.

又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，

因此AB⊥平面EFG.

又M，N分别为PD，PC的中点，

所以MN∥CD.

又AB∥CD，所以MN∥AB，

所以MN⊥平面EFG.

又MN⊂平面EMN，

所以平面EFG⊥平面EMN.

[题点发散1]　在本例条件下，证明：

平面EMN⊥平面PAC.

证明：

因为AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，

所以AB⊥平面PAC.

又MN∥CD，CD∥AB，

所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.

所以平面EMN⊥平面PAC.

[题点发散2]　在本例条件下，证明：

平面EFG∥平面PAC.

因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，

所以EF∥PA，FG∥AC.

又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，

所以EF∥平面PAC.

同理，FG∥平面PAC.

又EF∩FG＝F，

所以平面EFG∥平面PAC.

[点石成金]　1.判定面面垂直的方法

（1）面面垂直的定义；

（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．

2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．

在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

（1）∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD，

PA⊂平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.

（2）∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

∴AB∥DE，且AB＝DE.

∴四边形ABED为平行四边形．

∴BE∥AD.

又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

∴BE∥平面PAD.

（3）∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，

∴BE⊥CD，AD⊥CD.

由

（1）知，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

则PA⊥CD，又PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面PAD.

又PD⊂平面PAD，从而CD⊥PD，

又E，F分别为CD，CP的中点，

∴EF∥PD，故CD⊥EF.

∵EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF，且EF∩BE＝E，

∴CD⊥平面BEF.

又CD⊂平面PCD.

∴平面BEF⊥平面PCD.

考点3　平行与垂直的综合问题

[考情聚焦]　空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点．

主要有以下几个命题角度：

角度一

证明多面体中的平行与垂直关系

[典题3]　如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．

AE⊥EC；

（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证：

EF∥AB.

[证明]　

（1）∵E是半圆上异于A，B的点，

∴AE⊥EB.

又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，CB⊥AB，

∴CB⊥平面ABE.

又∵AE⊂平面ABE，∴CB⊥AE.

∵CB∩BE＝B，∴AE⊥平面CBE.

又∵EC⊂平面CBE，∴AE⊥EC.

（2）∵CD∥AB，AB⊂平面ABE，

∴CD∥平面ABE.

又∵平面CDE∩平面ABE＝EF，

∴CD∥EF.又∵CD∥AB，∴EF∥AB.

角度二

探索性问题中的平行与垂直关系

[典题4]　如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.

（1）设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：

DF∥a；

（2）若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？

若存在，请确定点G的位置；

若不存在，请说明理由．

（1）[证明]　在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，

∴DF∥平面ACE.

又∵DF⊂平面DEF，

平面ACE∩平面DEF＝a，

∴DF∥a.

（2）[解]　线段BE上存在点G，且BG＝BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：

取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD，

∵CF＝EF，∴GF⊥CE.

在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.

由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.

又CF∩EF＝F，

∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.