届一轮复习人教A版 概率随机变量及其分布列学案Word格式.docx
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3.（2017·
全国Ⅱ卷）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D（X）＝.
解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100，则D（X）＝np（1－p）＝100×
0.02×
0.98＝1.96.
答案 1.96
4.（2017·
全国Ⅲ卷）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；
如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；
如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
10，15）
15，20）
20，25）
25，30）
30，35）
35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：
瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：
瓶）为多少时，Y的数期望达到最大值？
解
（1）由题意知，X所有的可能取值为200，300，500，
由表格数据知
P（X＝200）＝＝0.2，
P（X＝300）＝＝0.4，
P（X＝500）＝＝0.4.
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n，
若最高气温位于区间20，25），则Y＝6×
300＋2（n－300）－4n＝1200－2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×
200＋2（n－200）－4n＝800－2n；
因此E（Y）＝2n×
0.4＋（1200－2n）×
0.4＋（800－2n）×
0.2＝640－0.4n.
当200≤n<
300时，
若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；
（0.4＋0.4）＋（800－2n）×
0.2＝160＋1.2n.
所以n＝300时，Y的数期望达到最大值，最大值为520元.
考点整合
1.概率模型公式及相关结论
（1）古典概型的概率公式.
P（A）＝＝.
（2）几何概型的概率公式.
P（A）＝.
（3）条件概率.
在A发生的条件下B发生的概率：
P（B|A）＝.
（4）相互独立事件同时发生的概率：
若A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）·
P（B）.
（5）若事件A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B），
P（）＝1－P（A）.
2.独立重复试验与二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生次的概率为Pn（）＝Cp（1－p）n－，＝0，1，2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B（n，p）且P（X＝）＝Cp（1－p）n－.
3.超几何分布
在含有件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P（X＝）＝
，＝0，1，2，…，，其中＝in{，n}，且n≤N，≤N，n，，N∈N，此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是，N，n.
4.离散型随机变量的均值、方差
（1）离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
x1
x2
x3
…
xi
n
p1
p2
p3
pi
pn
离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：
①pi≥0；
②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1（i＝1，2，3，…，n）.
（2）E（ξ）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数期望或均值.
D（ξ）＝（x1－E（ξ））2·
p1＋（x2－E（ξ））2·
p2＋…＋（xi－E（ξ））2·
pi＋…＋（xn－E（ξ））2·
pn叫做随机变量ξ的方差.
（3）数期望、方差的性质.
①E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b，D（aξ＋b）＝a2D（ξ）.
②X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.
③X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.
热点一 古典概型与几何概型
【例1】
（1）（2016·
北京卷）从甲、乙等5名生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
（2）（2016·
山东卷）在－1，1上随机地取一个数，则事件“直线y＝x与圆（x－5）2＋y2＝9相交”发生的概率为.
解析
（1）把5名同依次编号为甲乙丙丁戊，基本事件空间Ω＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊}，包含基本事件总数n＝10.设A表示事件“甲被选中”，则A＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，包含基本事件数＝4.所以概率为P＝＝.
（2）若直线y＝x与圆（x－5）2＋y2＝9相交，则有圆心到直线的距离d＝<
3，解之得－<
<
，
所以所求概率P＝＝.
答案
（1）B
（2）
探究提高 1.求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.
2.计算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.
【训练1】
（1）（2016·
全国Ⅰ卷）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）
（2）（2017·
江苏卷）记函数f（x）＝的定义域为D.在区间－4，5上随机取一个数x，则x∈D的概率是.
解析
（1）将4种颜色的花任选2种种在花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种，故概率为.
（2）由6＋x－x2≥0得－2≤x≤3，则D为－2，3.
故所求概率P＝＝.
答案
（1）C
（2）
热点二 互斥事件、相互独立事件的概率
命题角度1 互斥条件、条件概率
【例2－1】（2016·
全国Ⅱ卷选编）某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
1
3
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
概率
0.30
0.15
0.20
0.10
0.05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60的概率.
解
（1）设A表示事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P（A）＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.
（2）设B表示事件：
“一续保人本年度的保费比基本保费高出60”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P（B）＝0.10＋0.05＝0.15.
又P（AB）＝P（B），
故P（B|A）＝＝＝＝.
因此所求概率为.
命题角度2 相互独立事件与独立重复试验的概率
【例2－2】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
（2）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
解
（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P（）＝1－·
p＝，解得p＝.
（2）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D.“系统A在3次相互独立的检测中发生次故障”为事件D.
则D＝D0＋D1，且D0，D1互斥.
依题意，得P（D0）＝C，P（D1）＝C，
所以P（D）＝P（D0）＋P（D1）＝＋＝.
所以系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为.
探究提高 1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.
2.
（1）注意辨别独立重复试验的基本特征：
①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；
②在每次试验中，事件发生的概率相同.
（2）牢记公式Pn（）＝Cp（1－p）n－，＝0，1，2，…，n，并深刻理解其含义.
【训练2】（2017·
邯郸质检）2017年4月1日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新3县设立雄安新区，这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事。
多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司.若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司.向雄安新区申请建立分公司的任意4家央企中，
（1）求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率；
（2）用X表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用Y表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记ξ＝|X－Y|，求ξ的分布列.
解
（1）法一 依题意，每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为，去另外两个片区建立分公司的概率为，这4家央企恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为
P＝C＝.
法二 所有可能的申请方式有34种，恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的方式C·
22种，从而恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为：
P＝＝.
（2）由独立重复试验概率，
则P（X＝）＝C·
（＝0，1，
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