届高考数学一轮复习精品学案第1讲 集合Word格式文档下载.docx
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某些指定的对象集在一起成为集合。
(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作;
若b不是集合A的元素,记作;
(2)集合中的元素必须满足:
确定性、互异性与无序性;
确定性:
设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;
互异性:
一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素;
无序性:
集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;
列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;
描述法:
把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。
具体方法:
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意:
列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
(4)常用数集及其记法:
非负整数集(或自然数集),记作N;
正整数集,记作N*或N+;
整数集,记作Z;
有理数集,记作Q;
实数集,记作R。
2.集合的包含关系:
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作AB(或);
集合相等:
构成两个集合的元素完全一样。
若AB且BA,则称A等于B,记作A=B;
若AB且A≠B,则称A是B的真子集,记作AB;
(2)简单性质:
1)AA;
2)A;
3)若AB,BC,则AC;
4)若集合A是n个元素的集合,则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集);
3.全集与补集:
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;
(2)若S是一个集合,AS,则,=称S中子集A的补集;
(3)简单性质:
1)()=A;
2)S=,=S。
4.交集与并集:
(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集。
交集。
(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集。
。
求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。
5.集合的简单性质:
(1)
(2)
(3)
(4);
(5)(A∩B)=(A)∪(B),(A∪B)=(A)∩(B)。
四.典例解析
题型1:
集合的概念
例1.设集合,若,则下列关系正确的是()
A.B.C.D.
解:
由于中只能取到所有的奇数,而中18为偶数。
则。
选项为D;
点评:
该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。
首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系,而集合之间是包含与不包含的关系。
例2.设集合P={m|-1<m≤0,Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立,则下列关系中成立的是()
A.PQB.QPC.P=QD.P∩Q=Q
Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立=,对m分类:
①m=0时,-4<0恒成立;
②m<0时,需Δ=(4m)2-4×
m×
(-4)<0,解得m<0。
综合①②知m≤0,
∴Q={m∈R|m≤0}。
答案为A。
该题考察了集合间的关系,同时考察了分类讨论的思想。
集合中含有参数m,需要对参数进行分类讨论,不能忽略m=0的情况。
题型2:
集合的性质
例3.已知集合A={1,2,3,4},那么A的真子集的个数是()
A.15B.16C.3D.4
根据子集的计算应有24-1=15(个)。
选项为A;
该题考察集合子集个数公式。
注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。
同时,A不是A的真子集。
变式题:
同时满足条件:
①②若,这样的集合M有多少个,举出这些集合来。
答案:
这样的集合M有8个。
例4.已知全集,A={1,}如果,则这样的实数是否存在?
若存在,求出,若不存在,说明理由。
∵;
∴,即=0,解得
当时,,为A中元素;
当时,
∴这样的实数x存在,是或。
另法:
∵
∴,
∴=0且
∴或。
该题考察了集合间的关系以及集合的性质。
分类讨论的过程中“当时,”不能满足集合中元素的互异性。
此题的关键是理解符号是两层含义:
已知集合,,,求的值。
由可知,
(1),或
(2)
解
(1)得,
解
(2)得,
又因为当时,与题意不符,
所以,。
题型3:
集合的运算
例5.已知集合M={x|x<3,N={x|log2x>1},则M∩N=()
A.B.{x|0<x<3C.{x|1<x<3D.{x|2<x<3
由对数函数的性质,且2>
1,显然由易得。
从而。
故选项为D。
该题考察了不等式和集合交运算。
例6.设集合,,则等于()
,,所以,故选B。
该题考察了集合的交、补运算。
题型4:
图解法解集合问题
例7.已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且AB,则实数a的取值范围是__。
∵A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},又AB,利用数轴上覆盖关系:
如图所示,因此有a≤-2。
本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。
例8.已知全集I=N*,集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=4n,n∈N},则()
A.I=A∪BB.I=(A)∪B
C.I=A∪(B)D.I=(A)∪(B)
方法一:
A中元素是非2的倍数的自然数,B中元素是非4的倍数的自然数,显然,只有C选项正确.
方法二:
因A={2,4,6,8…},B={4,8,12,16,…},所以B={1,2,3,5,6,7,9…},所以I=A∪B,故答案为C.
方法三:
因BA,所以()A()B,()A∩(B)=A,故I=A∪(A)=A∪(B)。
方法四:
根据题意,我们画出Venn图来解,易知BA,如图:
可以清楚看到I=A∪(B)是成立的。
本题考查对集合概念和关系的理解和掌握,注意数形结合的思想方法,用无限集考查,提高了对逻辑思维能力的要求。
题型5:
集合的应用
例9.向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;
另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。
问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
赞成A的人数为50×
=30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;
赞成事件B的学生全体为集合B。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x。
依题意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21。
所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人。
在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握。
本题主要强化学生的这种能力。
解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来。
本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索。
画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系。
例10.求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个?
如图先画出Venn图,不难看出不符合条件
的数共有(200÷
2)+(200÷
3)+(200÷
5)
-(200÷
10)-(200÷
6)-(200÷
15)
+(200÷
30)=146
所以,符合条件的数共有200-146=54(个)
分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。
题型7:
集合综合题
例11.设集合A={x||x-a|<
2},B={x|<
1},若AB,求实数a的取值范围。
由|x-a|<
2,得a-2<
x<
a+2,所以A={x|a-2<
a+2}。
由<
1,得<
0,即-2<
3,所以B={x|-2<
3}。
因为AB,所以,于是0≤a≤1。
这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。
主要考查集合的概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。
在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。
例12.已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)|x2-y2=1,x,y∈R}。
试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;
如果不正确,请举例说明:
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上;
(2)A∩B至多有一个元素;
(3)当a1≠0时,一定有A∩B≠。
(1)正确;
在等差数列{an}中,Sn=,则(a1+an),这表明点(an,)的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an,)均在直线y=x+a1上。
(2)正确;
设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解,由方程组消去y得:
2a1x+a12=-4(*),
当a1=0时,方程(*)无解,此时A∩B=;
当a1≠0时,方程(*)只有一个解x=,此时,方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解。
∴A∩B至多有一个元素。
(3)不正确;
取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>
0,>
0,这时集合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a1=1≠0如果A∩B≠,那么据
(2)的结论,A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=<0,y0=<0,这样的(x0,y0)A,产生矛盾,故a1=1,d=1时A∩B=,所以a1≠0时,一定有A∩B≠是不正确的。
点