江苏专用高考数学一轮复习第四章导数及其应用第20课函数建模问题一函数导数不等式教师用书Word格式.docx

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bx＋c（a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0）．

（5）对数函数模型：

y＝mlogax＋n（m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0）．

（6）幂函数模型：

xn＋b（a≠0）．

2．解函数应用问题的步骤（四步八字）

（1）审题：

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：

将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）解模：

求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原：

将数学问题还原为实际问题．

以上过程用框图表示如下：

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．（　　）

（2）指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．（　　）

（3）形如“y＝x＋”型的函数最值均可以用基本不等式解决．（　　）

（4）在用导数解决生活中的优化问题时，若定义域中的极值点只有一个，则该点也是最值点．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）√　（3）×

　（4）√

2．（教材改编）在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是________．（填序号）

x

1.95

3.00

3.94

5.10

6.12

y

0.97

1.59

1.98

2.35

2.61

①y＝2x；

②y＝log2x；

③y＝（x2－1）；

④y＝2.61cosx.

②　[由表格知当x＝3时，y＝1.59，而①中y＝23＝8，不合要求，②中y＝log23∈（1,2），③中y＝（32－1）＝4，不合要求，④中y＝2.61cos3＜0，不合要求．]

3．已知某生产厂家的年利润y（单位：

万元）与年产量x（单位：

万件）间的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．

9　[因为y′＝－x2＋81，所以当x>

9时，y′<

0；

当x∈（0,9）时，y′>

0.所以函数y＝－x3＋81x－234在（9，＋∞）上单调递减，在（0,9）上单调递增．所以x＝9是函数的极大值点．又因为函数在（0，＋∞）上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．]

4．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值（单位：

万元）恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．

20　[设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为×

2＝，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为＋x≥2＝40，当且仅当＝x，即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．]

5．（教材改编）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°

角，再焊接而成，则该容器的高为________cm时，容器的容积最大．

10　[设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，则V＝（90－2x）（48－2x）x＝4（x3－69x2＋1080x），0<

x<

12，V′＝12（x2－46x＋360）＝12（x－10）（x－36），当0<

10时，V′>

当10<

12时，V′<

0，所以V在（0,10]上是增函数，在[10,12）上是减函数，故当x＝10时，V最大．]

应用二次函数模型解决实际问题

　某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；

B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.（注：

利润和投资单位：

万元）

①　　　　　　　　　②

图201

（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．

①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？

②问：

如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？

其最大利润约为多少万元？

[解]　

（1）f（x）＝0.25x（x≥0），g（x）＝2（x≥0）．

（2）①由

（1）得f（9）＝2.25，g（9）＝2＝6，

所以总利润y＝8.25万元．

②设B产品投入x万元，A产品投入（18－x）万元，该企业可获总利润为y万元．

则y＝（18－x）＋2，0≤x≤18.

令＝t，t∈[0,3]，

则y＝（－t2＋8t＋18）＝－（t－4）2＋.

所以当t＝4时，ymax＝＝8.5，

此时x＝16,18－x＝2.

所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．

[规律方法]　求解所给函数模型解决实际问题的关注点：

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

（3）利用该模型求解实际问题．

易错警示：

解决实际问题时要注意自变量的取值范围．

[变式训练1]　甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100元．

（1）求证：

生产a千克该产品所获得的利润为

100a元；

（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：

甲厂应该选取何种生产速度？

并求此最大利润.【导学号：

62172110】

[解]　

（1）证明：

生产a千克该产品，所用的时间是小时，

所获得的利润为100·

.

所以，生产a千克该产品所获得的利润为

100a元．

（2）生产900千克该产品，所用的时间是小时，获得的利润为90000，1≤x≤10.

记f（x）＝－＋＋5,1≤x≤10，

则f（x）＝－32＋＋5，

当且仅当x＝6时，f（x）取到最大值f（6）＝.

获得最大利润90000×

＝457500（元）．

因此甲厂应以6千克/时的速度生产，可获得最大利润457500元．

利用导数解决生活中的优化问题

　（2015·

江苏高考）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连结两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图202所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝（其中a，b为常数）模型．

图202

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？

求出最短长度．

[解]　

（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5,40），（20,2.5）．

将其分别代入y＝，得

解得

（2）①由

（1）知，y＝（5≤x≤20），

则点P的坐标为.

设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y′＝－，

则l的方程为y－＝－（x－t），

由此得A，B.

故f（t）＝

＝，t∈[5,20]．

②设g（t）＝t2＋，则g′（t）＝2t－.

令g′（t）＝0，解得t＝10.

当t∈（5,10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；

当t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数．

从而，当t＝10时，函数g（t）有极小值，也是最小值，

所以g（t）min＝300，此时f（t）min＝15.

故当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为

15千米．

[规律方法]　利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤：

（1）分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）；

（2）求函数的导数f′（x），解方程f′（x）＝0；

（3）比较函数在区间端点和使得f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；

（4）回归实际问题作答．

[变式训练2]　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：

千克）与销售价格x（单位：

元/千克）满足关系式y＝＋10（x－6）2，其中3<

6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【导学号：

62172111】

[解]　

（1）因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.

（2）由

（1）可知，该商品每日的销售量为y＝＋10（x－6）2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润为

f（x）＝（x－3）

＝2＋10（x－3）（x－6）2,3<

6.

从而，f′（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）]＝30（x－4）（x－6），

于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

（3,4）

4

（4,6）

f′（x）

＋

－

f（x）

单调递增

极大值42

单调递减

由上表可得，x＝4时，函数f（x）取得极大值，也是最大值，

所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42.

即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

借助基本不等式解决实际问题

　某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图203所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.

图203

（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

[解]　

（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．

总造价f（x）＝400×

＋248×

2x＋80×

162

＝1296x＋＋12960＝1296＋12960≥1296×

2＋12960＝38880（元），

当且仅当x＝（x＞0），即x＝10时取等号．

∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38880元．

（2）由限制条件知∴≤x≤16.

设g（x）＝x＋，

g（x）在上是增函数，

∴当x＝时，

g（x）有最小值，即f（x）有最小值，

即为1296×

＋12960＝38882（元）．

∴当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38882元.

[规律方法]　形如“y＝ax＋（x>

0）”型的函数求最值常用基本不等式，但需注意其等号成立的条件，倘若等号取不到，要借助导数来求解．如本题（