高中数学新学案同步 必修2 北师大版 第二章 解析几何初步 23 第2课时Word文档格式.docx

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相离

0个

d>

r1＋r2

内含

d<

|r1－r2|

两圆相交

2个

|r1－r2|<

d<

两圆内切

1个

d＝|r1－r2|

两圆外切

d＝r1＋r2

特别提醒：

（1）仅从圆与圆的交点个数判定是不科学的，如有1个交点，就不能判定是内切还是外切，应再结合图像判定．

（2）判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法，代数法要注意相切时的判定．

（3）一般情况下，我们尽量选择利用几何法进行判断，以减少运算量，提高解题的速度．

类型一　两圆的位置关系

命题角度1　两圆位置关系的判断

例1　已知圆M：

x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：

（x－1）2＋（y－1）2＝1的位置关系是（　　）

A．内切B．相交

C．外切D．相离

考点　圆与圆的位置关系

题点　判断两圆的位置关系

答案　B

解析　由得两交点分别为（0,0），（－a，a）．

∵圆M截直线所得线段的长度为2，

∴＝2，

又a＞0，∴a＝2.

∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，

即x2＋（y－2）2＝4，圆心为M（0,2），半径为r1＝2.

又圆N：

（x－1）2＋（y－1）2＝1，圆心为N（1,1），半径为r2＝1，

∴|MN|＝＝.

∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，

∴两圆相交．

反思与感悟　判断圆与圆的位置关系的一般步骤

（1）将两圆的方程化为标准方程（若圆方程已是标准形式，此步骤不需要）．

（2）分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.

（3）求两圆的圆心距d.

（4）比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．

（5）根据大小关系确定位置关系．

跟踪训练1　已知圆C1：

x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：

4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为（　　）

A．1或3B．4C．0D．2

题点　两圆的位置关系与其公切线

答案　D

解析　由圆C1：

（x－1）2＋（y＋2）2＝1，圆C2：

（x－2）2＋（y＋1）2＝，得C1（1，－2），C2（2，－1），

∴|C1C2|＝＝.

又r1＝1，r2＝，

则r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴圆C1与圆C2相交．

故这两个圆的公切线共2条．

命题角度2　已知两圆的位置关系求参数

例2　当a为何值时，两圆C1：

x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：

x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：

（1）外切；

（2）相交；

（3）相离．

题点　由圆与圆的位置关系求参数的值或范围

解　将两圆方程写成标准方程，则

C1：

（x－a）2＋（y＋2）2＝9，C2：

（x＋1）2＋（y－a）2＝4.

∴两圆的圆心和半径分别为C1（a，－2），r1＝3，C2（－1，a），r2＝2.

设两圆的圆心距为d，则d2＝（a＋1）2＋（－2－a）2＝2a2＋6a＋5.

（1）当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，

此时a＝－5或a＝2.

（2）当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，

此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.

（3）当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆相离，

此时a＞2或a＜－5.

反思与感悟　

（1）判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤

①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径；

②计算两圆圆心的距离d；

③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．

（2）应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．

跟踪训练2　若圆C1：

x2＋y2＝16与圆C2：

（x－a）2＋y2＝1相切，则a的值为（　　）

A．±

3B．±

5

C．3或5D．±

3或±

解析　圆C1与圆C2的圆心距为d＝＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±

5；

当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±

3.

类型二　两圆的公共弦问题

例3　已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.

（1）判断两圆的位置关系；

（2）求公共弦所在的直线方程；

（3）求公共弦的长度．

题点　两圆公共弦长问题

解　

（1）将两圆方程配方化为标准方程，则

（x－1）2＋（y＋5）2＝50，

C2：

（x＋1）2＋（y＋1）2＝10，

∴圆C1的圆心坐标为（1，－5），半径为r1＝5，

圆C2的圆心坐标为（－1，－1），半径为r2＝.

又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，

|r1－r2|＝|5－|，

∴|r1－r2|<

|C1C2|<

r1＋r2，

（2）将两圆方程相减，

得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.

（3）方法一　由

（2）知圆C1的圆心（1，－5）到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3，

∴公共弦长为

l＝2＝2＝2.

方法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组

解得或

∴|AB|＝＝2.

即公共弦长为2.

反思与感悟　

（1）当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法

若圆C1：

x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：

x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0.

（2）公共弦长的求法

①代数法：

将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

②几何法：

求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

跟踪训练3　

（1）两圆相交于两点A（1,3）和B（m，－1），两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．

答案　3

解析　由题意知直线AB与直线x－y＋c＝0垂直，

∴kAB×

1＝－1，

即＝－1，得m＝5，

∴AB的中点坐标为（3,1）．

又AB的中点在直线x－y＋c＝0上，

∴3－1＋c＝0，∴c＝－2，∴m＋c＝5－2＝3.

（2）求圆C1：

x2＋y2＝1与圆C2：

x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：

（x－1）2＋（y－1）2＝截得的弦长．

解　由题意将两圆的方程相减，

可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为

x＋y－1＝0.又圆C3的圆心坐标为（1,1），

其到直线l的距离为d＝＝，

由条件知，r2－d2＝－＝，

所以弦长为2×

＝.

类型三　圆系方程及应用

例4　求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．

考点　求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程

题点　求过两圆交点的圆的方程

解　方法一　设经过两圆交点的圆系方程为

x2＋y2－4x－6＋λ（x2＋y2－4y－6）＝0（λ≠－1），

即x2＋y2－x－y－6＝0，

所以圆心坐标为.

又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－－4＝0，

即λ＝－.

所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.

方法二　由

得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.

由

解得

所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A（－1，－1），B（3,3），

线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－（x－1）．

由得

即所求圆的圆心为（3，－1），

半径为＝4.

所以所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝16.

反思与感悟　当经过两圆的交点时，圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1），然后用待定系数法求出λ即可．

跟踪训练4　求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与直线y＝x相切的圆的方程．

题点　求过直线与圆交点的圆的方程

解　设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＋λ（x＋y＋4）＝0.联立

得x2＋（1＋λ）x＋2（λ－1）＝0.因为所求圆与直线y＝x相切，所以Δ＝0，即（1＋λ）2－8（λ－1）＝0，解得λ＝3，

故所求圆的方程为x2＋y2＋7x＋y＋8＝0.

1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是（　　）

解析　圆x2＋y2－1＝0的圆心为C1（0,0），半径为r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心为C2（2，－1），半径为r2＝3，两圆的圆心距为d＝|C1C2|＝＝，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1<

r1＋r2，故两圆相交．

2．圆C1：

x2＋（y－3）2＝1的内公切线有且仅有（　　）

A．1条B．2条

C．3条D．4条

解析　因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆相离，所以内公切线的条数为2.

3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（　　）

A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0

C．3x－y－9＝0D．4x－3y＋7＝0

题点　两圆公共弦所在直线的方程

答案　C

解析　AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心（2，－3）代入，即可排除A，B，D.

4．已知以C（4，－3）为圆心的圆与圆O：

x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是____________________

________________________________________________________________________．

考点　两圆相切的有关问题

题点　两圆相切的有关问题

答案　（x－4）2＋（y＋3）2＝16或（x－4）2＋（y＋3）2＝36

解析　设圆C的半径为r，

圆心距为d＝＝5，

当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4；

当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，

∴圆的方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝16

或（x－4）2＋（y＋3）3＝36.

5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则a＝________.