高考数学压轴题命题区间探究与突破第一篇专题03由导寻源妙解函数不等式学案Word格式文档下载.docx

高考数学压轴题命题区间探究与突破第一篇专题03由导寻源妙解函数不等式学案Word格式文档下载.docx

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①对于不等式f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）>

0），构造函数F（x）＝f（x）g（x）；

②对于不等式f′（x）g（x）－f（x）g′（x）>

0），构造函数．

（3）利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数

①对于不等式xf′（x）＋f（x）>

0），构造函数F（x）＝xf（x）；

②对于不等式xf′（x）－f（x）>

0），构造函数；

③对于不等式xf′（x）＋nf（x）>

0），构造函数F（x）＝xnf（x）；

④对于不等式xf′（x）－nf（x）>

⑤对于不等式f′（x）＋f（x）>

0），构造函数F（x）＝exf（x）；

⑥对于不等式f′（x）－f（x）>

⑦对于不等式f（x）＋f′（x）tanx>

0），构造函数F（x）＝sinxf（x）；

⑧对于不等式f（x）－f′（x）tanx>

⑨对于不等式f′（x）－f（x）tanx>

0），构造函数F（x）＝cosxf（x）；

⑩对于不等式f′（x）＋f（x）tanx>

⑪（理）对于不等式f′（x）＋kf（x）>

0），构造函数F（x）＝ekxf（x）；

⑫（理）对于不等式f′（x）－kf（x）>

二．解题策略

类型一构造具体函数求解

【例1】【2018届第二次调研】已知定义在R上的函数满足，且恒成立，则不等式的解集为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【指点迷津】

对于与函数有关的不等式的求解问题：

通常是代入函数的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质——单调性与奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.对于复合函数问题，先换元，再构造函数，是常用的方法.

【举一反三】【黑龙江省2018年仿真模拟

（一）】设函数是的导函数，，且，则的解集是（）

【答案】B

【解析】

类型二构造抽象函数求解

【例2】【四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2019届第一次调研】设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）

根据题意，设，

其导数，

又由当时，，

则有，

即函数在上为减函数，

又由，

则在区间上，，

又由，则，

在区间上，，

则在和上，，

又由为奇函数，则在区间和上，都有，

或，

解可得或，

则的取值范围是，故选D.

联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；

解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：

①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；

②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.

【举一反三】【河北省唐山一中2018届强化提升

（一）】设是函数的导函数，且为自然对数的底数），则不等式的解集为（）

【答案】A

综上，不等式的解集为

故选.

类型三追根求源，抽象问题具体化

【例3】【四川省棠湖中学2018-2019学年第一次月考】定义在R上的函数满足,当时总有，若,则实数的取值范围是_________.

【答案】

函数的奇偶性和单调性是函数的重要性质，它们应用贯穿于整个高中数学的教学之中.学习中应注意牢记奇偶性、单调性的不同表达形式.对于所遇到的数学问题，应注意挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的奇偶性单调性解题，能起到化难为易、化繁为简、化抽象为具体的作用.

【举一反三】【安徽省淮南市2018届二模】已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（）

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，

∴f（x）在R上都是增函数，

则不等式，等价为，

即，

则，

即a＞

即实数a的取值范围是，故答案为：

A

三．强化训练

1．【辽宁省部分重点高中2019届9月联考】已知函数为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则满足的的取值范围（）

【答案】C

2.【四川省雅安中学2019届第一次月考】设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

构造函数F（x）=f（x）g（x）

因为当时，，即当时F（x）为单调递增函数

且，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以F（x）为奇函数F（3）==0

所以的解集是

所以选B

3.【云南省曲靖市第一中学2019届9月监测卷二】已知函数）为奇函数,当时,且,则不等式的解集为（）

4．【宁夏银川一中2019届第一次月考】设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，为导函数，当时，且，则不等式的解集是（）

A．（－3,0）∪（3,＋∞）B．（－3,0）∪（0,3）

C．（－∞,－3）∪（3,＋∞）D．（－∞,－3）∪（0,3）

设F（x）=f（x）g（x），当x＜0时，

∵F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．

∴F（x）在当x＜0时为增函数．

∵F（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）•g（x）=﹣F（x）．

故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．

∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．

已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．

构造如图的F（x）的图象，可知

F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．

故选：

D．

5.【【全国百强校】河北省武邑中学2019届第一次调研】已知奇函数是定义在上的连续函数，满足f

（2）＝，且在上的导函数，则不等式的解集为（　　）

6.【黑龙江省2018届仿真模拟（四）】设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（）

7.【2019年一轮复习讲练测】设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为

根据题意，设g（x）=x2f（x），x＜0，

其导数g′（x）=[x2f（x）]′=2xf（x）+x2f′（x）=x（2f（x）+xf′（x）），

又由2f（x）+xf′（x）＞x2≥0，且x＜0，

则g′（x）≤0，则函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，

（x+2018）2f（x+2018）﹣4f（﹣2）＞0

⇒（x+2018）2f（x+2018）＞（﹣2）2f（﹣2）⇒g（x+2018）＞g（﹣2），

又由函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，

则有，

解可得：

x＜﹣2020，

即不等式（x+2018）2f（x+2018）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（﹣∞，﹣2020）；

B．

8.【江西省新余市第四中学2019届10月月考】已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数的取值范围是（）

分析：

构造函数故进而得到对该函数求导得到函数的单调性和图像，结合图像得到结果.

不等式的解集中恰有唯一一个整数，则此整数只能为-1，故

解得m的范围是：

.

故答案为：

B.

9．【四川省雅安中学2019届第一次月考】已知定义在实数集的函数满足，且导函数，则不等式的解集为__________.

∵f

（2）=7，

∴g

（2）=f

（2）-6-1=0，

则当x＜2时，g（x）＞g

（2）=0，

即g（x）>

0，则此时g（x）=f（x）-3x-1＞0，

即不等式f（x）＞3x+1的解为x＜2，

即f（t）＞3t+1的解为t＜2，

由lnx＜2，解得0＜x＜e2，

即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e2）。

10.【湖北省武汉市2018届四月调研】已知，为奇函数，，则不等式的解集为_________．

∵y=f（x）﹣1为奇函数，

∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，

令g（x）=，，

则g′（x）=＞0，

故g（x）在递增，

f（x）＞cosx，

得g（x）=＞1=g（0），

故x＞0，

故不等式的解集是（0，），

（0，）