八年级数学下册 第二章 分解因式教案 北师大版Word格式.docx

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教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.

教具准备

有两个边长为1的正方形，剪刀.

投影片两张：

第一张：

做一做（记作§

2.1.1A）；

第二张：

补充练习（记作§

2.1.1B）.

教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

计算（a＋b）（a－b）＝a2－b2．

这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子（a＋b）（a－b）＝a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？

即a2－b2＝（a＋b）（a－b）是否成立呢？

a2－b2＝（a＋b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？

这就是我们即将学习的内容：

因式分解的问题．

Ⅱ.讲授新课

1．讨论993－99能被100整除吗？

你是怎样想的？

与同伴交流．

93－99能被100整除．因为993－99＝99×

992－99＝99×

（992－1）＝99×

9800＝99×

98×

100，其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除．

993－99还能被哪些正整数整除？

（99，98，980，990，9702）

从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式．

2．议一议

你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？

大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式．

a3－a＝a（a2－1）＝a（a－1）（a＋1）

3．做一做

（1）计算下列各式：

①（m＋4）（m－4）＝__________；

②（y－3）2＝__________；

③3x（x－1）＝__________；

④m（a＋b＋c）＝__________；

⑤a（a＋1）（a－1）＝__________．

（2）根据上面的算式填空：

①3x2－3x＝（　　）（　　）；

②m2－16＝（　　）（　　）；

③ma＋mb＋mc＝（　　）（　　）；

④y2－6y＋9＝（　　）2．

⑤a3－a＝（　　）（　　）．

能分析一下两个题中的形式变换吗？

在

（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；

在

（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解．

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．

4．想一想

由a（a＋1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？

由a3－a得到a（a＋1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？

你还能举一些类似的例子加以说明吗？

总结一下：

联系：

等式

（1）和

（2）是同一个多项式的两种不同表现形式．

区别：

等式

（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算．

所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．

5．例题

下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）4a（a＋2b）＝4a2＋8ab；

（2）6ax－3ax2＝3ax（2－x）；

（3）a2－4＝（a＋2）（a－2）；

（4）x2－3x＋2＝x（x－3）＋2．

Ⅲ.课堂练习

Ⅳ.课时小结

本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；

还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形．

Ⅴ.课后作业

见作业本

六、活动与探究

已知a＝2，b＝3，c＝5，求代数式a（a＋b－c）＋b（a＋b－c）＋c（c－a－b）的值．

VI板书设计

一、1．讨论993－99能被100整除吗？

2．议一议　　　　　　　　3．做一做

5．例题讲解

二、课堂练习

三、课时小结

2.2.1　提公因式法

（一）

1．让学生了解多项式公因式的意义。

2．初步会用提公因式法分解因式。

1．通过找公因式，培养学生的观察能力。

1．在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性。

2．让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识。

3．还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用．

能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．

让学生识别多项式的公因式

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果

一块场地由三个矩形组成，矩形的长分别为，，，宽都是，求这块场地的面积．

从两种不同的解答过程看，解法一是按运算顺序：

先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些．这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法．

1．公因式与提公因式法分解因式的概念．

若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma＋mb＋mc，或m（a＋b＋c），可以用等号来连接．

从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？

各项之间有什么联系？

等式右边的项有什么特点？

由于m是左边多项式ma＋mb＋mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式．

由上式可知，把多项式ma＋mb＋mc写成m与（a＋b＋c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma＋mb＋mc的一个因式，把m从多项式ma＋mb＋mc各项中提出后形成的多项式（a＋b＋c），作为多项式ma＋mb＋mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

2．例题讲解

例1　将下列各式分解因式：

（1）3x＋6；

（2）7x2－21x；

　（3）8a3b2－12ab3c＋abc；

　（4）－24x3－12x2＋28x．

分析：

首先要找出各项的公因式，然后再提取出来．

3．议一议

通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤．

首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4．其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab，相同字母的指数取次数最低的．

从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？

提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式．

1．写出下列多项式各项的公因式．

（1）ma＋mb；

（2）4kx－8ky；

　（3）5y3＋20y2；

　（4）a2b－2ab2＋ab。

2．把下列各式分解因式

（1）8x－72＝8（x－9）

（2）a2b－5ab＝ab（a－5）

（3）4m3－6m2＝2m2（2m－3）（4）a2b－5ab＋9b＝b（a2－5a＋9）

（5）－a2＋ab－ac＝－（a2－ab＋ac）＝－a（a－b＋c）

（6）－2x3＋4x2－2x＝－（2x3－4x2＋2x）＝－2x（x2－2x＋1）

3．把3x2－6xy＋x分解因式。

　　　　　　　3x2－6xy＋x＝x（3x－6y＋1）。

将x写成x·

1，这样可知提出一个因式x后，另一个因式是1．

1．提公因式法分解因式的一般形式，如：

ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）．

这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式．

2．提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式．

3．找公因式的一般步骤

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的．

（4）所有这些因式的乘积即为公因式．

4．初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生．

5．公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题．

利用分解因式计算：

（1）32004－32003；

（2）（－2）101＋（－2）100．

一、1．公因式与提公因式法分解因式的概念

2．例题讲解（例1）

3．议一议（找公因式的一般步骤）4．想一想

二、课堂练习（1．随堂练习，2．补充练习）

2.2.2　提公因式法

（二）

1．进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法。

1．进一步培养学生的观察能力和类比推理能力。

通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．

能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式．

准确找出公因式，并能正确进行分解因式．

上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？

本节课我们就来揭开这个谜．

1．例题讲解

例2　把a（x－3）＋2b（x－3）分解因式．

这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3），因此可以把（x－3）作为公因式提出来．

例3　把下列各式分解因式：

（1）a（x－y）＋b（y－x）；

（2）6（m－n）3－12（n－m）2．

虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x＝－（x－y）（m－n）3与（n－m）2也是如此．

2．做一做

请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”号，使等式成立：

（1）2－a＝________（a－2）；

（2）y－x＝________（x－y）；

（3）b＋a＝________（a＋b）；

（4）（b－a）2＝________（a－b）2；

（5）－m－n＝________－（m＋n）；

（6）－s2＋t2＝________（s2－t2）．

1．把下列各式分解因式：

（1）x（a＋b）＋y（a＋b）；

（2）3a（x－y）－（x－y）；

（3）6（p＋q）2－12（q＋p）；

（4）a（m－2）＋b（2－m）；

（5）2（y－x）2＋3（x－y）；

（6）mn（m－n）－m（n－m）2．

2．补充练习

把下列各式分解因式

5（x－y）3＋10（y－x）2；

m（a－b）－n（b－a）

m（m－n）＋n（n－m）；

m（m－n）－n（m－n）

m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）；

（b－a）2＋a（a－b）＋b（b－a）

本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式．

把（a＋b－c）（a－b＋c）＋（b－a＋c）·

（b－a－c）分解因式．

参考练习

把下列各式分解因式：

1．a（x－y）－b（y－x）＋c（x－y）；

2．x2y－3xy2