广西壮族自治区百色市学年高二上学期期末数学理试题解析版Word格式.docx
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【详解】焦点在轴上，双曲线的标准方程为，，所以渐近线方程.
故选：
C
【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.
2.命题“”的否定是（）
【分析】
特称命题的否定是全称命题，注意否定结论，而不是否定结论，由此确定正确选项.
【详解】由特称命题的否定可知，命题“”的否定是“”.
【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.
3.命题，命题，则是的（）
A.必要不充分B.充分不必要
C.充要条件D.既不充分也不必要
【答案】B
将相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】若成立，则成立，而成立时，或，，于是为的充分不必要条件.
B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
4.甲、乙两人8次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的中位数和乙的成绩的平均数分别是（）
A.23，22B.23，22.5
C.22，22.5D.22，23
【答案】D
根据甲成绩中间两个数的平均数，求得甲的成绩的中位数，利用平均数的计算公式，计算出乙的平均数.
【详解】甲的8次成绩为10，11，14，21，23，23，32，34，
所以甲的成绩中位数为22，乙的成绩的平均数为
D
【点睛】本小题主要考查根据茎叶图计算中位数和平均数，属于基础题.
5.已知向量，，若，则的值为（）
A.0B.C.2D.
首先求得，，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】因为，，
所以由有：
所以.
【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.
6.某市高中采用分层抽样的方法从三个年级的教师队伍中抽取若干名教师.调查心血管疾病情况，有关数据如表（单位：
人），则抽取的教师人数样本为（）
年级
年级教师人数
抽取人数
高一
69
高二
57
高三
54
18
A.60B.59C.62D.58
【答案】A
根据高三年级抽取的人数求得抽样的比例，由此计算出的值，进而求得总抽取的人数.
【详解】由题知按的比例抽取，
所以人，人，
∴抽取的教师共60人.
A
【点睛】本小题主要考查分层抽样的计算，属于基础题.
7.在等腰直角中，在斜边上任取一点，则的边长大于的概率为（）
A.B.C.D.
【详解】在边上截取，于是
.
【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.
8.如图，在直棱柱中，，则异面直线与所成角为（）
作出异面直线与所成的角，由此求得异面直线与所成角的大小.
【详解】如图延长到，使得，
易知即为所求异面直线所成角，
不妨设，又，可证为等边三角形，
于是所求异面直线所成角为.
【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题.
9.用式子表示正整数除以正整数后的余数为.如，如图的程序框图的算法是根据我国古代闻名中外的“中国剩余定理”改编的，执行该程序框图，则输出的值为（）
A.32B.16C.1D.4
运行程序，计算出退出循环结构后，输出的的值，由此确定正确选项.
【详解】执行程序框图，依次得，不满足条件；
，不满足条件；
，满足条件输出.
故输出的等于.
【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出的结果，属于基础题.
10.在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为8，但墨水污损了后面两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即5，7，8，，那么这组数据的方差可能的最大值是（）
A.B.18C.36D.6
设出最后两个数，然后根据已知条件列方程，求得方程的表达式，根据表达式的结构求得的最大值.
【详解】设这组数据的最后2个分别是，则，
得，故.
∴，
显然当时，最大，最大为36.
【点睛】本小题主要考查平均数和方差的计算，考查方程的思想，属于基础题.
11.在正四面体中，，为的中点，为的中点，则用表示为（）
利用向量加法和减法的运算，用表示出.
【详解】
，
∴.
【点睛】本小题主要考查根据基底表示向量，属于基础题.
12.已知椭圆和圆，是椭圆上一动点，过向圆作两条切线，切点为，若存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是（）
将存在在点使，转化为的最小角小于等于.画出图象，解直角三角形求得的取值范围，进而求得椭圆离心率的取值范围.
【详解】若存在点使，经分析知只需的最小角小于等于，
即只需，此时点为椭圆长轴的端点，画出大致图象如图所示，
连接，则在中，
因为，
所以，即，
所以，所以，
即，解得
又，所以椭圆的离心率的取值范围为.
【点睛】本小题主要考查椭圆和圆的几何性质，考查椭圆离心率的取值范围的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.抛物线的准线方程是___________________.
【答案】
将化成抛物线的标准方程，利用抛物线的性质求解即可．
【详解】由得：
，所以，即：
所以抛物线的准线方程为：
．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
14.某同学为了调查支付宝中的75名好友的蚂蚁森林种树情况，对75名好友进行编号，分别为1，2，…，75，采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知11号，26号，56号，71号好友在样本中，则样本中还有一名好友的编号是___________.
【答案】41
求得系统抽样的组距，结合确定抽取的编号.
【详解】依题意可知，系统抽样的组距为，故抽取的编号为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查系统抽样，属于基础题.
15.抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，准线交轴于，若，则___________.
作出图像，结合抛物线的定义，求得直线的斜率，由此求出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，写出韦达定理，根据直线与抛物线相交所得弦长公式，求得.
【详解】根据抛物线对称性，不妨设直线斜率，
作准线于，作于，
则，
所以，所以直线的斜率，
过的直线的方程为，
由，整理得，
设，则，
所以；
【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和几何性质，考查直线和抛物线相交所得弦长的求法，属于中等题.
16.如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，，是的中点，则与平面所成角的正弦值为___________.
建立空间直角坐标系，利用的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.
【详解】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系如图所示，
由，则，所以.设平面的法向量为，则，令可得平面的法向量坐标为，
于是所求线面角正弦值为.
【点睛】本小题主要考查线面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
三、解答题：
本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知命题对任意，不等式恒成立，命题方程表示焦点在轴上的双曲线，则
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.
（1）
（2）或.
（1）根据方程表示焦点在轴上的双曲线列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
（2）利用分离常数法求得当为真命题时的取值范围.根据“或”为真，“且”为假，判断出一真一假，由此进行分类讨论，求得的取值范围.
（1）若命题为真命题，则，解得.
（2）对于为真时，有在恒成立，
即只需即可，，于是有.
若“或”为真，“且”为假，则两命题应一真一假，
当为真，为假时，有：
或
无解
综上，或.
【点睛】本小题主要考查曲线方程表示双曲线的条件，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，考查根据含有简单逻辑联结词命题的真假性求参数的取值范围，属于中档题.
18.设关于的一元二次方程，其中是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率.
（1）若随机数；
（2）若是从区间中任取的一个数，是从区间中任取的一个数.
（1）
（2）
（1）根据判别式求得方程有实根的条件，用列举法结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
（2）画出可行域，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.
（1）设事件为方程有实根，，有实根的充要条件为，若随机数基本事件共有16个：
其中括号中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值，则事件中包含10个基本事件，
故事件发生的概率为.
（2）试验的全部结果所构成的区域为，如图矩形.
构成事件的区域为，如图梯形.
概率为两者的面积之比，所以所求的概率.
【点睛】本小题主要考查古典概型和几何概型的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
19.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需要看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查.将他们的年龄分成6段：
后得到如图所示的频率分布直方图，问：
（1）在40名读书者中年龄分布在的人数；
（2）估计40名读书者年龄平均数和中位数.
（1）24人
（2）平均数为54，中位数为55
（1）读书者中年龄分布在的频率，由此求得在40名读书者中年龄分布在的人数.
（2）利用每组中点乘以对应的频率再相加，求得平均数的估计值；
通过从左边开始，频率之和为的位置，由此求得中位数.
（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，
所以40名读书者中年龄分布在的人数为人.
（2）40名读书者年龄的平均数为：
.
设中位数为，则，解得，
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