小学数学奥数基础教程四年级目30讲全Word格式.docx

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第30讲抽屉原理

（二）

第1讲速算与巧算

（一）

　　计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

　　我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：

　　86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

　　求这10名同学的总分。

分析与解：

通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。

观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：

　　6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

于是得到

　　总和=80×

10＋（6-2-3＋3＋11-

　　＝800＋9＝809。

　　实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。

为了清楚起见，将这一过程表示如下：

　　通过口算，得到差数累加为9，再加上80×

10，就可口算出结果为809。

　　例1所用的方法叫做加法的基准数法。

这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。

作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。

由例1得到：

总和数=基准数×

加数的个数+累计差，

平均数=基准数+累计差÷

加数的个数。

　　在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。

同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。

例2某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：

千克）：

　　462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。

求平均每块麦田的产量。

解：

选基准数为450，则

　　累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11

　　＝50，

　　平均每块产量=450＋50÷

10＝455（千克）。

　　答：

平均每块麦田的产量为455千克。

　　求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×

7＝49（七七四十九）。

对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。

有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？

这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。

所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。

下面通过例题来说明这一方法。

例3求292和822的值。

292=29×

29

　　＝（29＋1）×

（29-1）＋12

　　＝30×

28＋1

　　＝840+1

　　＝841。

　　822＝82×

82

　　＝（82－2）×

（82＋2）＋22

　　＝80×

84＋4

　　＝6720+4

　　＝6724。

　　由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；

因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。

因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。

本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；

给一个82减了2，就要给另一个82加上2。

最后，还要加上“移多补少”的数的平方。

　　由凑整补零法计算352，得

　　35×

35＝40×

30＋52=1225。

这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。

　　这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。

例4求9932和20042的值。

9932=993×

993

　　＝（993＋7）×

（993-7）+72

　　＝1000×

986＋49

　　＝986000＋49

　　＝986049。

　　20042=2004×

2004

　　＝（2004-4）×

（2004+4）＋42

　　＝2000×

2008＋16

　　＝4016000＋16

　　＝4016016。

　　下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。

　　请看下面的算式：

　　66×

46，73×

88，19×

44。

　　这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。

这类算式有非常简便的速算方法。

例588×

64＝？

由乘法分配律和结合律，得到

　　88×

64

　　＝（80＋8）×

（60＋4）

60＋（80＋8）×

4

60＋8×

60＋80×

4＋8×

6＋80×

（60＋6＋4）＋8×

（60＋10）＋8×

　　＝8×

（6＋1）×

100+8×

4。

　　于是，我们得到下面的速算式：

　　由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×

4；

积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×

（6＋1）。

例677×

91＝？

由例3的解法得到

　　由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×

1＝07。

　　用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。

练习1

　　1.求下面10个数的总和：

　　165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。

　　2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：

厘米）：

　　26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。

求这批麦苗的平均高度。

　　3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：

　　68，91，84，75，78，81，83，72，79。

　　他们共加工了多少个零件？

　　4.计算：

　　13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。

　　5.计算下列各题：

（1）372；

（2）532；

（3）912；

　　（4）682：

（5）1082；

（6）3972。

　　6.计算下列各题：

（1）77×

28；

（2）66×

55；

（3）33×

19；

（4）82×

44；

（5）37×

33；

（6）46×

99。

练习1答案

　　1.1596。

2.26厘米。

　　3.711个。

4.147。

　　5.

（1）1369；

（2）2809；

（3）8281；

　　　（4）4624；

（5）11664；

（6）157609。

　　6.

（1）2156；

（2）3630；

（3）627；

　　　（4）3608；

（5）1221；

（6）4554。

第2讲速算与巧算

（二）

　　上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。

　　两个数之和等于10，则称这两个数互补。

在整数乘法运算中，常会遇到像72×

78，26×

86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。

72×

78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；

26×

86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。

计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。

例1

（1）76×

74＝？

（2）31×

39＝？

　　分析与解：

本例两题都是“头相同、尾互补”类型。

（1）由乘法分配律和结合律，得到

76×

74

＝（7＋6）×

（70+4）

＝（70＋6）×

70＋（7＋6）×

4＝70×

70＋6×

70＋70×

4＋6×

＝70×

（70＋6＋4）＋6×

（70＋10）＋6×

＝7×

（7+1）×

100＋6×

于是，我们得到下面的速算式：

（2）与

（1）类似可得到下面的速算式：

　　由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×

9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。

“同补”速算法简单地说就是：

积的末两位是“尾×

尾”，前面是“头×

（头+1）”。

　　我们在三年级时学到的15×

15，25×

25，…，95×

95的速算，实际上就是“同补”速算法。

例2

（1）78×

38＝？

（2）43×

63＝？

本例两题都是“头互补、尾相同”类型。

（1）由乘法分配律和结合律，得到

　　78×

38

＝（70＋8）×

（30＋8）

30＋（70＋8）×

8

30+8×

30＋70×

8＋8×

30＋8×

（30＋70）＋8×

3×

100＋8×

＝（7×

3＋8）×

8。

（2）与

（1）类似可得到下面的速算式：

由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×

3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。

“补同”速算法简单地说就是：

积的末两位数是“尾×

头+尾”。

例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。

当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？

我们先将互补的概念推广一下。

当两个数的和是10，100，1000，…时，这两个数互为补数，简称互补。

如43与57互补，99与1互补，555与445互补。

　　在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。

例如，因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型。

又如，

　　等都是“同补”型。

当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。

例如，

　　等都是“补同”型。

　　在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。

例3

（1）702×

708=？

（2）1708×

1792＝？

（1）

（2）　

　　计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×

（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。

注意：

互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。

　　在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补