固体物理期末考试题Word文档格式.docx

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解：

简单立方晶格：

，

由倒格子基矢的定义：

，，

倒格子基矢：

倒格子矢量：

晶面族的面间距：

面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。

牛顿运动方程N个原胞，有2N个独立的方程

设方程的解，代回方程中得到

A、B有非零解，，则

两种不同的格波的色散关系

一个q对应有两支格波：

一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.

当时，

两种色散关系如图所示：

长波极限情况下，，

与一维单原子晶格格波的色散关系一致.

色散关系图：

3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有

求证：

;

.

解

依据，并带入上边结果有

3.8、有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与。

在到间的独立振动模式对应于平面中半径到间圆环的面积，且则

，

3.11一维复式格子求

（1），光学波，声学波。

（2）相应声子能量是多少电子伏。

（3）在300k时的平均声子数。

（4）与相对应的电磁波波长在什么波段。

＜解＞

（1），

（2）

（3）

（4）

4.2、写出一维近自由电子近似，第n个能带（n=1，2，3）中，简约波数的0级波函数。

＜解＞

第一能带：

第二能带：

第三能带：

4.3、电子在周期场中的势能．

0，

其中d＝4b，是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．

＜解＞（I）题设势能曲线如下图所示．

（2）势能的平均值：

由图可见，是个以为周期的周期函数，所以

题设，故积分上限应为，但由于在区间内，故只需在区间内积分．这时，，于是

。

（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数

利用积分公式得

第二个禁带宽度代入上式再次利用积分公式有

4.7、有一一维单原子链，间距为a，总长度为Na。

求

（1）用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E（k）函数。

（2）求出其能态密度函数的表达式。

（3）如果每个原子s态只有一个电子，求等于T=0K的费米能级及处的能态密度。

（2）,

（3）,

4.12、设有二维正方晶格，晶体势为

用近自由电子近似微扰论，近似求出布里渊区顶角处的能隙．

＜解＞以表示位置矢量的单位矢量，以表示倒易矢量的单位矢量，则有，

晶体势能

这样基本方程

求布里渊区角顶，即处的能隙，可利用双项平面波近似

来处理。

当时依次有

而其他的，

，所以在双项平面波近似下上式中只有

5.1、设有一维晶体的电子能带可写成，其中为晶格常数，是电子的质量。

试求

（1）能带宽度；

（2）电子在波矢k状态的速度；

（3）带顶和带底的电子有效质量。

解：

（1）

=－coska+（2cos2ka－1）]

＝（coska－2）2－1

当ka＝（2n+1）时,n=0,1,2…

当ka=2n时,

能带宽度＝

（3）

当时,带底，

当时,带顶，