命题与证明的知识点总结Word文件下载.docx

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1、同角的余角相等2、两点确定一条直线

知识点四真命题与假命题

如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；

如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题

真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。

知识点五证明及互逆命题的定义

1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。

证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。

2、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。

一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。

例说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。

（1）直角三角形的两锐角互余；

（2）全等三角形的对应角相等。

类型一：

　例、判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？

哪些没有对事情作出判断？

（1）对顶角相等；

（2）画一个角等于已知角；

　　　（3）两直线平行，同位角相等；

（４），两条直线平行吗?

（5）鸟是动物；

（6）若，求的值；

（7）若，则．

　　思路点拨:

通过本题熟悉命题的定义

　　解析：

句子

（1）（3）（5）（7）对事情作了判断，句子

（2）（4）（6）没有对事情作出判断．其中

（1）（3）（5）判断是正确的，（7）判断是错误的．

【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?

（1）若a＜b，则；

（2）三角形的三条高交于一点；

（3）在ΔABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B吗?

（4）两点之间线段最短；

　（5）解方程；

　　（6）1＋2≠3．

　　【答案】

（1）

（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．

　类型二：

　　例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：

（1）三条边对应相等的两个三角形全等；

（2）在同一个三角形中，等角对等边；

　　（3）对顶角相等；

　　（4）同角的余角相等；

　　（5）三角形的内角和等于180°

；

　　（6）角平分线上的点到角的两边距离相等．

找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去．

（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．

（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。

可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：

“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏．

　　（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．

　　（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．

　　（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°

”．这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°

”；

　　（6）“如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。

”

　　总结升华：

注意原命题中省略的重要内内容一定要补充完整。

　【变式1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否定式，得到新的命题，并判断这些命题的真假．

（1）对顶角相等；

（2）两直线平行，同位角相等；

　　（3）若a=0，则ab=0；

　　（4）两条直线不平行，则一定相交；

（l）对顶角相等（真）；

相等的角是对顶角（假）；

不是对顶角不相等（假）；

不相等的角不是对顶角（真）．

（2）两直线平行，同位角相等（真）；

同位角相等，两直线平行（真）；

　　　两直线不平行，同位角不相等（真）；

同位角不相等，两直线不平行（真）．

　　（3）若a=0，则ab=0（真）；

　若ab=0，则a=0（假）；

　若a≠0，则ab≠0（假）；

　若ab≠0，则a≠0（真）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　（4）两条直线不平行，则一定相交（假）；

　两条直线相交，则一定不平行（真）；

　两条直线平行，则一定不相交（真）；

　两条直线不相交，则一定平行（假）．

　　【变式2】判断正误：

（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。

　　　　　　　　　　　　（）

（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。

　　（3）如果两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。

　　　　　　　　　（）

　　（4）如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角。

　　（）

　　（5）如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。

　　　　　　　　（）

　　（6）如果两个角的和是180°

，那么这两个角是邻补角。

　　　　　　　　　（）

　　（7）对顶角的角平分线在同一条直线上。

　　　　　　　　　　　　　　　（）

　　（8）如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。

　　【答案】：

（1）√；

（2）×

（3）×

（4）×

（5）√；

（6）×

（7）√；

（8）×

。

　　注：

判断题如果是正确的命题需要加以说明或论证，找出依据，如果是错误的命题，只要举出一个反例即可。

　知识点六公理与定理

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。

以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理。

（1）公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明；

（2）定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。

例填空：

（1）同位角相等，则两直线；

（2）平面内两条不重合的直线的位置关系是；

（3）四边形是平行四边形。

知识点七互逆定理

如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。

每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。

“对顶角相等”就没逆定理。

知识点八证明的含义

从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。

推理证明的必要性：

判断猜想的数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够的，必须一步一步，有理有据地进行推理。

证明命题的步骤：

由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。

证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。

（证明命题的格式一般为：

1）按题意画出图形；

2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；

3）在“证明”中写出推理过程）

证明的四个注意

（1）注意：

①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题：

　　②公理可以作为判定其他命题真假的根据.

（2）注意，定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；

一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题.这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的.

　　（3）注意：

在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。

如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法.只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的.但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等.

　　（4）注意：

证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.①论据必须是真命题，如；

定义、公理、已经学过的定理和已知条件；

②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；

③论据应是论题的充足理由.

例1.证明：

两直线平行，内错角相等。

　　已知：

a∥b,c是截线求证：

∠1=∠2

　　分析：

要证∠1=∠2

　　只要证∠3=∠2即可，因为∠3与∠1是对顶角，根据平行线的性质，易得出∠3=∠2

　　证明：

∵a∥b（已知）

　　∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）

　　∵∠1=∠3（对顶角相等）　∴∠1=∠2（等量代换）

例2.如图所示，已知：

∠A=∠F，∠C=∠D，求证：

BD∥CE

要证BD∥CE，只需证得∠D=∠CEF或∠D+∠CED=180°

即可，由于∠C=∠D，因此只要∠C=∠CEF或∠C+∠CED=180°

，这就需要有AC∥DF，由已知条件中的∠A=∠F，可以得出AC∥DF，故此题可证

∵∠A=∠F（已知）

　　∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）

　　∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）

　　又∵∠D=∠C（已知）

　　∴∠D=∠CEF（等量代换）∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）

【变式】已知：

如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF

（1）求证：

ΔBCE≌ΔDCF

（2）若∠FDC＝30°

，求∠BEF的度数。

知识点九反证法

反证法：

在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾的结论，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题成立，这种证明方法叫做反正法。

反证法的基本步骤：

1.假设命题的结论不成立2.从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾。

3.有矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

结论的反面不止一种情形的反证法：

应用反证法证明命题时，首先要分清命题的题设和结论，再全面地否定结论，如果结论的反面不止一种情形，那么必须把各种可能性都列出来，并且在逐一加以否定之后，才能肯定原结论正确。

例1、已知：

如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，13与11相交于点P.

　　求证：

13与l2相交．

　　（使用反证法）

仔细阅读反证法的定义，掌握这种方法的规律。

证明：

假设，　13与l2不相交