平面的基本性质及空间两条直线的位置关系Word下载.docx

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②符号表示：

若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线．

（3）异面直线所成的角

①定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

②范围：

.

（4）公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

（5）定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

【课前预习】

1.（必修2P23练习2改编）用符号表示“点P在直线l外，直线在平面α内”为_______．

答案：

P，

解析：

考查点、线、面之间的符号表示．

2．（必修2P26练习2改编）如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么AOB与A1O1B1的大小

关系为_________．

相等或互补

考虑两种情况．

3.平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，C∈β，又AB∩l＝R，如图所示，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ＝．

直线CR

由已知条件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB⊂γ，所以R∈γ．又因为C，R∈β，故CR＝β∩γ．

4.若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是．

异面直线、平行直线、相交直线

把直线放在正方体内可知a与c可以异面、平行或相交．

5.以下四个命题：

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

其中正确命题的个数是．

1

①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确；

②中，若A，B，C三点共线，则点A，B，C，D，E有可能不共面，故②错误；

③中，如图所示正方体的棱中，a，b共面，a，c共面，而b，c异面，故③错误；

④中，空间四边形的四条线段不共面，故④错误．

【典型例题】

目标1多点共线与多线共点的证明

例1如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD

上的点，且直线EF和GH交于点P．求证：

B、D、P在同一直线上．

如图所示，因为EF∩GH=P，所以P∈EF、GH．

因为E∈AB，F∈AD，

所以EF平面ABD，所以P∈平面ABD．

因为G∈BC，H∈CD，

所以GH平面BCD，所以P∈平面BCD．

因为平面ABD∩平面BCD=BD，

所以P∈BD，即B、D、P三点在同一直线上．

【借题发挥】

变式如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．

求证：

CE、D1F、DA三线交于一点．

连结EF，D1C，A1B.

因为E为AB的中点，F为AA1的中点，

所以EF∥A1B，EF＝A1B.

又因为A1B∥D1C，所以EF∥D1C，

所以E，F，D1，C四点共面，且EF＝D1C，

所以D1F与CE相交于点P.

又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD.

所以P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．

又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，

根据公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一点．

【规律方法】

（1）证明点共线的方法：

①先考虑两个平面的交线，再证明有关的点都是这两个平面的公共点；

②先选择其中两点确定一条直线，再证明其他点也在这条直线上．

（2）公理的正确运用，严密的逻辑推理过程，文字、符号、图形语言的转化是立体几何的基本要求，也是高考考查的重点能力．

目标2点、线共面的证明

例2在长方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是棱A1A和棱C1C的中点．

四边形B1EDF是平行四边形．

证明：

设Q是D1D的中点，连结EQ、QC1，

∵E是A1A的中点，∴EQ∥A1D1且EQ＝A1D1.

在矩形A1B1C1D1中，有A1D1平行等于B1C1.

由公理4，得EQ平行等于B1C1，

∴四边形EQC1B1是平行四边形．∴B1E平行等于C1Q.

又由F、Q分别是矩形C1CDD1中CC1、D1D两边的中点，得QD平行等于C1F.

∴四边形DQC1F是平行四边形，从而C1Q平行等于FD.

由公理4，得B1E平行等于FD，

所以四边形B1EDF是平行四边形．

变式1如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°

，BC∥AD，，BE∥FA，，G、H分别为FA、FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？

为什么？

（1）证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，

GH∥AD，，又BC∥AD，，

所以GH∥BC，且GH＝BC，

所以，四边形BCHG为平行四边形．

（2）由BE∥FA，，G为FA的中点知，

BE∥FG，BE＝FG，所以，四边形BEFG为平行四边形，

所以，EF∥BG.

由

（1）知BG∥CH，BG＝CH，所以，EF∥CH，所以，EF与CH共面．

又D∈FH，所以，C、D、F、E四点共面．

证明几条线共面的方法:

先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点（或线）在这个平面内；

②先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．

【拓展训练】

如图，A∈l，B∈l，C∈l，Dl，求证:

直线AD、BD、CD共面．

因为Dl，所以过点D及直线l可确定一个平面α．

因为A∈l，B∈l，C∈l，所以A、B、C∈α．

所以直线AD、BD、CD共面于α．

目标3空间直线位置关系问题

例3已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．

（1）求证：

BC与AD是异面直线；

（2）求证：

EG与FH相交．

（1）假设BC与AD不是异面直线，则BC与AD共面，

不妨设它们所共平面为α，则B、C、A、D∈α.

所以，四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．

所以，BC与AD是异面直线．

（2）如图，连结AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，

因此EF∥HG；

同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．

又EG、FH是平行四边形EFGH的对角线，

所以，EG与FH相交．

（1）证明直线异面通常用反证法，证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面；

（2）证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等．

如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：

（1）AM和CN是否是异面直线？

说明理由；

（2）D1B和CC1是否是异面直线？

说明理由．

（1）不是异面直线．理由如下：

连接MN、A1C1、AC.

因为，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以，MN∥A1C1.

又因为A1A∥C1C，且A1A＝C1C，

所以，A1ACC1为平行四边形，

所以，A1C1∥AC，所以，MN∥AC，

所以，A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．

（2）是异面直线．证明如下：

因为，ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以，B、C、C1、D1不共面．

假设D1B与CC1不是异面直线，

则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，

所以，D1、B、C、C1∈α，与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾．

所以，假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．

【归纳分析】

1.证明点线共面的常用方法：

一是依据题中所给部分条件先确定一个平面，然后证明其余的点或线都在面内；

二是将所有元素分成几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合；

三是采用反证法．

2.证明三线共点的方法：

通常先证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线是分别经过这两条直线的两个平面的一条交线．

3.异面直线的证明方法：

一是应用判定定理（过平面内一点与平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线）；

二是采用反证法．判定异面直线时通常采用排除法（既不相交也不平行）或判定定理．

4.对于异面直线所成的角，要注意角的范围是以及两条直线垂直的定义，平移法是解决此类问题的关键．

【课后作业】

1.平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

1或4

若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；

否则确定四个平面．

2.如图，在正方体ABCD－EFMN中，①BM与ED平行；

②CN与BM是异面直线；

③CN与BE是异面直线；

④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确的命题是________．（填序号）

②④

观察图形，根据异面直线的定义可知，BM与ED是异面直线，CN与BM是异面直线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故①、③错误，②、④正确．即正确的命题是②、④.

3.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于点P，那么P在直线上.

面ABC，又面ACD，由公理2知，面ABC∩面ACD.

4.已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为__．

P∈l

因为α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈m，P∈n，P∈α，P∈β，所以P∈l.

5.正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有________条．

6

由图可知，与对角线AC1异面的棱有BB1、DD1、A1B1、A1D1、BC、CD，共6条．

6.已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：

①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；

②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；

③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为．

法一：

在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．法二：

构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．

7.设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．

上述命题中正确的命题是________（写出所有正确命题的序号）．

①

由公理4知①正确；

当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；

当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；

a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“