《数学归纳法》第一课时教学设计Word文档格式.docx

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数学归纳法产生过程的分析及其适用范围，掌握数学归纳法证题的基本步骤。

教学难点：

认识数学归纳法的证明思路，对数学归纳法中递推思想的理解。

教具准备：

传统板书与多媒体辅助教学相结合。

教学过程：

一、情景设置

问题1：

通过计算下面的式子，你能猜想出-1+3-5+…+（-1）n（2n-1）的结果吗？

证明你的结论。

-1+3=

-1+3-5=

-1+3-5+7=

-1+3-5+7-9=

问题2：

多米诺骨牌是怎样全部倒下的？

二、探究新知

问题1中，要证明等式在n为正整数时都成立，虽然可以验证n=1，2，3，4……甚至10000000时等式（★）成立，但是正整数有无限多个，我们无法对它们一一验证，所以，通过验证是无法完成证明的。

下面我们先来看看多米诺骨牌的视频（多媒体播放视频材料），讨论问题2。

如果不推倒起始的第一张骨牌，而从其后的第二张或某一张开始推倒，那么其前面的骨牌会倒吗？

如果因为抽去中间的某一张或某一张牌摆放不标准等原因，使得此处前一张骨牌倒下后不能碰倒下一张，那么骨牌会全部倒下吗？

显然，以上的情况都不能使得全部骨牌倒下，可见让所有的多米诺骨牌全部倒下，应具备如下条件：

条件一：

第一张骨牌倒下。

条件二：

任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。

其中条件一是前提、是基础，条件二是持续递推的保障，二者缺一不可。

通过以上合作交流，师生共同探究得到解决问题的方法：

第一块骨牌倒下相当于证明当n=1时，等式（★）成立；

对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下，相当于当n=k时，等式（★）成立，推出当n=k+1时等式（★）也成立。

可以建立一种像多米诺骨牌那样的“由前到后”的递推关系，即由n=1时等式（★）成立为起点，递推出n=2时等式（★）成立；

再由n=2时等式（★）成立，递推出n=3时等式（★）成立……依次自动递推下去，就可以说，对于任意正整数n，等式（★）成立。

按照上述思路可具体证明等式（★）成立。

证明：

⑴当n=1时，式（★）⑴左右两边都等于-1，即这时等式（★）成立。

⑵假设当n=k（k≥1）时等式（★）成立，即

-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）=（-1）kk

当n=k+1时，左边=-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）+（-1）k+1［2（k+1）-1］

=（-1）kk+（-1）k+1［2（k+1）-1］

=（-1）k+1［-k+2（k+1）-1］

=（-1）k+1（k+1）=右边

所以当n=k+1时等式（★）成立。

由⑴⑵可知，-1+3-5+…+（-1）n（2n-1）=（-1）nn（n∈N+）

三、明确概念

（板书）“数学归纳法”

一般地，证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0∈N+）时命题成立。

（2）（归纳递推）假设n=k（k∈N+,且k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立。

只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述方法叫做数学归纳法。

应用数学归纳法要注意以下几点：

（1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的。

（2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法。

（3）n0不一定取1，也可取其它一些正整数，n0是使命题成立的最小正整数。

（4）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法。

四、巩固应用

用数学归纳法证明:

（1）12+22+...+n2=（n∈N+）

（2）当n为正整数时，1+3+5+…+（2n-1）=n2

五、回顾总结

1.本节课学到了什么？

2.这些知识是怎样得出的？

3.你有什么体会与感悟？

（责任编辑史玉英）

第二篇：

“数学归纳法”（第一课时）教学设计（修改稿）

http:

//www./gzsx/gxrz/202210/t20221002_604444.htm

浙江省衢州高级中学何豪明

一、内容和内容解析

“数学归纳法”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）》中的内容，它可以完成通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立的命题的证明．

在等差数列和等比数列知识的学习过程中，我们用不完全归纳法推出了它们的通项公式，其中正确性的严格证明需要用数学归纳法进行.因此，数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用．

应用数学归纳法（证明某些与正整数有关的命题时常常采用的方法）证明命题的步

骤：

（1）（归纳奠基）证明当取第一个值

（2）（归纳递推）假设当

命题也成立；

根据

（1）和

（2），可知命题对于从

开始的所有正整数都成立．

是正整数的一

是全体正

时命题成立；

时命题成立，证明当

时数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条：

设个子集，且它具有下列性质：

①整数的集合，即使

；

②若

，则

．那么

）也叫做归纳公理．设是一个与正整数有关的命题，我们把

对于所有正整数都成立，只（数学归纳法中的第一步，则

（数学归纳法，从而证明了成立的所有正整数组成的集合记为，如果要证明要证明即可．为此，根据归纳公理，首先证明“归纳奠基”正是进行这样的证明）；

其次证明若中的第二步“归纳递推”正是进行这样的证明）．这样即可得到命题对于一切正整数都成立．不难看出归纳公理是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质．

数学归纳法的基本思想：

即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当出当

时命题成立，利用这个假设，如果能推

，时，命题也成立，那么就可以递推出对所有的正整数„„„，命题都成立.也就是说，当

时命题成立，可以推时命题成立，可以推出出时命题成立，当

时命题成立，„„．

即命题真

命题

真

命题．

因此可知命题对于从

真数学归纳法的思维模式是：

“观察——归纳——猜想——证明”．

数学归纳法教学的重点是借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．

二、目标和目标解析本节课的目标是：

1．借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；

2．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．

数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的命题，在证明过程中，要分“两个步骤和一个结论”．其中第一步是归纳奠基，只需验证取第一个值

（这里

是使结论有意义的最小的正整数，它不一定是1，可以是2，或取别的正整数）时命题成立；

第二步是归纳递推，就是要证明命题的传递性．把第一步的结论和第二步的结论联系起来，才可以断定命题对所有的正整数都成立．因此，用数学归纳法证明命题时，完成了上述两个步骤后，还应该有一个总的结论．否则，还不能算是已经证明完毕．所以，严格地说，用数学归纳法证明命题的完整过程应该是“两个步骤和一个结论”．应用类比的方法，类比多米诺骨牌游戏和数学归纳法，将一块“骨牌”对应一个“命题”，某块骨牌“倒下”对应某个命题“成立”，从而培养学生的类比推理能力．

三、教学问题诊断分析

教学的难点：

（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设．如果不会运用“假设当命题成立”这一条件，直接将

时，

代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明．为突破以上教学难点，课堂教学中两条线索交替进行．一条是主线：

“提出问题——分析问题——解决问题”；

另一条是暗线：

“课堂提问的规则——根据学号提问，并依次从小号到大号”．在这个过程中，让学生体会数学归纳法证明命题的第一步的第一个值不一定是1，就如同第一个被提问到的学生不一定是1号的学生一样．若是2号，

则下一个被提问的学生一定是3号．

另外，设计命题：

已知

时，命题成立，求证：

时命题成立．从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．

四、教学支持条件分析

在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全归纳法（推导等差、等比数列的通项公式）；

在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”．这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础．因此，教学时应该充分注意这一教学条件，通过类比的方法，引导学生理解数学归纳法的本质．

利用flash软件，动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的

证明过程，理解数学归纳法的证明步骤．

另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实物投影进行分析讲解，

增强课堂教学效果．

五、教学过程设计1.从思考题中引入课题

思考题：

已知数列的第1项此推测计算

，且

的公式，并给出证明．

，计算由分析：

逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问

题的一种方法——数学归纳法”．

【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；

该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”．

2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想

游戏：

在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？

【设计意图】通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和

概括过程，从而理解数学归纳法的本质.思考游戏1:

摆放好多米诺骨牌，推倒第1块骨牌，观察发生的结果？

思考游戏2:

摆放好多米诺骨牌，推倒第2块骨牌，观察发生的结果？

【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须

倒下，这是基础，也是前提条件.思考游戏3:

摆放好多米诺骨牌，先抽走第块骨牌，然后推倒第块骨牌，观察发

生的结果？

【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌不能拿走，因为第块骨牌的存在，是所有骨牌都倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性．问题1:

为什么会有这些结果的发生？

如果我们想要确保所有的多米诺骨牌都倒下，

那

么必须满足哪些条件？

问题2:

从多米诺骨牌