河南省开封市立洋外国语学校学年高三上学期第一次月考数学理试题 Word版含答案Word文档格式.docx

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A.①②B.②③C.③④D.①④

7．设x，y满足约束条件若目标函数z＝的最小值为，则a的值为

A.1B.2C.3D.4

8．正三棱锥ABCD的所有棱长均相等，从此三棱锥6条棱的中点中任意选3个点连成

三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于

A.0B.C.D.1

9．对于下列：

①在ΔABC中，若cos2A=cos2B,则ΔABC为等腰三角形；

②ΔABC中角A、B、C的对边分别为,若，则ΔABC有两组解；

③设 

则

④将函数的图象向左平移个单位，得到函数=2cos（3x+）的图象.其中正确的个数是

A.0B.1C.2D.3

10．如图，E，F是椭圆G：

的左右焦点，P为椭圆上一动点，连接PE，PF，在△EPF中，∠EPF的平分线PN交x轴于N点，FM⊥PN于M点，则OM的取值范围是

A.（0，）B.[0，]C.[0，2）D.[0，2]

11．已知为Δ的三个内角,向量满足,且,若最大时,动点使得成等差数列,则的最大值是

12．已知函数f（x）满足满足当时,；

若在区间内，函数的图象与轴有三个不同的交点，则实数的取值范围是

二、填空题：

共4题每题5分共20分

13．若（2x﹣3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于　　.

14．已知函数f（x）=esinx+cosx﹣sin2x（x∈R），则f（x）的最大值与最小值的差是　.

15．已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=　　　. 

16．已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为2的正三角形,该三棱柱存在一个与上、下底面及所有侧面都相切的内切球,则该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为　　　. 

三、解答题：

共8题每题12分共96分

17．19．设函数

（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；

（2）已知中，角的对边分别为若，求的最小值。

18某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务

所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往100位顾客办理业务

所需的时间（t），结果如下：

类别A类B类C类D类

顾客数（人）20304010

时间t（分钟／人）2346

注：

银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．

（１）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；

（２）用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数

学期望．

19．如图所示，在多面体ABCDE中，面ABED为梯形且∠BAD＝∠EDA＝，F为CE的中点，AC＝AD＝CD＝DE＝AF＝2，AB＝1.

（Ⅰ）求证：

DF⊥BC；

（Ⅱ）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的余弦值.

20．已知曲线的方程是,且曲线过点两点,为坐标原点.

（1）求曲线的方程;

（2）设是曲线上两点,且,求证:

直线恒与一个定圆相切.

21．已知函数，，是常数.

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围；

（Ⅲ）证明：

，存在，使.

22．已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点A作AD⊥CD于D,交圆于点E,DE=1.

（1）求证:

AC平分∠BAD;

（2）求BC的长.

23．已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数）,在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴）中,曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+3=0.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;

（2）设P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的取值范围.

24．（选修4-5：

不等式选讲）关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m.

（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；

（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？

参考答案

1.B

【解析】本题考查集合的运算．

=，，

则．故本题正确答案是B.

【备注】无

2.C

【解析】本题考查复数的运算与性质.，因为实部1与虚部-a互为相反数，所以.选C.

3.B

【解析】本题考查等差数列的通项与求和。

由题意得即所以；

即所以取得最小值时n=5。

选B。

4.D

【解析】本题考查流程图.最初，n=5；

循环1次：

n=16，；

循环2次：

n=12，；

循环3次：

n=8，；

循环4次：

n=4，；

循环5次：

n=0，，满足条件，输出11.选D.

5.D

【解析】本题考查三视图．

由图可得该几何体为正三棱柱加一个球，

故其体积为 

，

故本题正确答案是D.

6.D

【解析】本题考查立体几何中线面关系．

①中由面面判定定理可得①正确，②若则不成立．③中可能有．④中由线面平行的判断定理得，直线平行于平面的一条直线，则该直线平行于这个平面，故④正确．故本题正确答案是D.

7.B

【解析】本题考查线性规划问题.目标函数z＝的几何意义为：

动点N与点的直线的斜率,可得.作出可行域，如图所示.当N在B点时，，解得.选B.

8.D

【解析】本题考查等可能事件的概率.从三棱锥6条棱的中点中任意选3个点能组成两类三角形；

一类是等边三角形，另一类是等腰三角形.若任意选3个点连成等边三角形，则剩下的3个点也是等边三角形，且它们全等；

若任意选3个点连成等腰三角形，则剩下的3个点也是等腰三角形，且它们全等；

这是必然事件，其概率为1.选D.

9.D

【解析】本题考查的知识点是三角函数的诱导公式、三角函数的图像和性质、正余弦定理。

在ΔABC中，若cos2A=cos2B,则A=B,所以ΔABC为等腰三角形。

所以①正确；

在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为,若，sinB；

所以无解。

所以②错误。

设 

则，所以正确；

函数的图象向左平移个单位，

从而得到函数=2cos（3x+）的图象.所以选D

10.C

【解析】本题考查椭圆的性质.如图，延长FM交PE于A点，连接AN.

由题意知：

M为AF的中点，所以AE=2OM，PA=PF；

在△EPF中，即AE<

EF=4，所以2OM<

4，

即OM<

2.所以OM的取值范围是[0,2）.选C.

11.A

【解析】本题主要考查平面向量的坐标表示与模、两角和与差的公式与三角函数、等差数列、椭圆的定义与方程.因为,且,所以=,所以1=,当A最大时,B=C,,则,因为成等差数列,,所以点P的轨迹是以B、C为焦点、为长轴的椭圆,因为比值与单位长度的选择无关,所以设,AB=AC=,O为BC的中点,则OA=1,建立直角坐标系,点B、C在x轴上,则椭圆方程为,易求得PA的最大值为,所以的最大值是,故选A.

12.D

【解析】本题考查函数与方程，函数的图像与性质。

在内，函数，有三个不同的零点：

①a＞0若x∈[1，3]时，，可得=lnx-ax（x＞0），；

若g′（x）＜0，可得，为减函数；

若g′（x）＞0，可得，为增函数；

此时必须在[1,3]上有两个交点，所以，解得。

设，可得1＜＜3，∴f（x）=2f（）=2ln；

此时=-2lnx-ax，，若g′（x）＞0，可得x＜-＜0，为增函数；

若g′（x）＜0，可得x＞-，为减函数，在[，1]上有一个交点，解得0＜a≤6ln3；

综上可得；

②若a0，对于x∈[1，3]时，g（x）=lnx-ax＞0，没有零点，不满足题意。

综上。

选D。

13.10

【解析】本题考查二项式定理.对等式两边同时求导可得：

10（2x﹣3）4=a1+2a2x+3a3x2

+4a4x3+5a5x4，令x=1可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=10.

14.

【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.令=，可得；

则原函数可化为：

，>

0在上恒成立；

所以在上单增，，；

所以-.所以f（x）的最大值与最小值的差是.

15.

【解析】由sinC=2sinB及正弦定理得c=2b,代入a2-b2=bc得a2=7b2,∴cosA=,又0<

A<

π,∴A=.

【备注】本题主要考查利用正弦定理与余弦定理解三角形,考查考生基本的运算能力.首先利用正弦定理将角之间的关系转化为边之间的关系,再结合余弦定理即可求得A.

16.∶1

【解析】由题意知,三棱柱的内切球的半径r等于底面内切圆的半径,即r=×

2=1,此时三棱柱的高为2r=2,底面外接圆的半径为2=2,所以三棱柱的外接球的半径R=.所以该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为∶1.

【备注】本题主要考查三棱柱的结构特征及球的相关知识,考查考生的空间想象能力和基本运算能力.首先明确三棱柱的几何特征,再根据几何体内切球的特征求内切球的半径,然后根据球的截面的性质确定三棱柱外接球的半径,从而可得结果.

17.（Ⅰ）（i）由已知及频率分布直方图中的信息知,甲型号节排器中的一级品的概率为,二级品的概率为,则用分层抽样的方法抽取的10件甲型号节排器中有6件一级品,4件二级品,所以从这10件节排器中随机抽取3件,至少有2件一级品的概率P=1-.

（ii）由已知及频率分布直方图中的信息知,乙型号节排器中的一级品的概率为,二级品的概率为,三级品的概率为,若从乙型号节排器中随机抽取3件,则二级品数ξ所有可能的取值为0,1,2,3,且ξ~B（3,）,

所以P（ξ=0）=（）3×

（）0=,P（ξ=1）=（）2×

（）1=,

P（ξ=2）=（）1×

（）2=,P（ξ=3）=（）0×

（）3=.

所以ξ的分布列为

ξ0123

P

　　所以数学期望Eξ=0×

+1×

+2×

+3×

（或Eξ=3×

）.

（Ⅱ）由题意知,甲型号节排器的利润率的平均值E甲=a+×

5a2=2a2+a,

乙型号节排器的利润率的平均值E乙=a+×

5a2+a2=a2+a,

E甲-E乙=a2-a=a（a-）,又<

a<

因而当<

时,投资乙型号节排器的平均利润率较大;

当<

时,投资甲型号节排器的平均利润率较大;

当a=时,投资两种型号节排器的平均利润率相等.

【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列及