高三数学文一轮复习讲解与练习22函数的定义域和值域含答案解析文档格式.docx
《高三数学文一轮复习讲解与练习22函数的定义域和值域含答案解析文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高三数学文一轮复习讲解与练习22函数的定义域和值域含答案解析文档格式.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
当a<
0时,值域为.
(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y=ax(a>
0且a≠1)的值域是{y|y>
0}.
(5)y=logax(a>
0且a≠1)的值域是R.
(6)y=sinx,y=cosx的值域是[-1,1].
(7)y=tanx的值域是R.
[探究] 1.若函数y=f(x)的定义域和值域相同,则称函数y=f(x)是圆满函数,则函数①y=;
②y=2x;
③y=;
④y=x2中是圆满函数的有哪几个?
提示:
①y=的定义域和值域都是(-∞,0)∪(0,+∞),故函数y=是圆满函数;
②y=2x的定义域和值域都是R,故函数y=2x是圆满函数;
③y=的定义域和值域都是[0,+∞),故y=是圆满函数;
④y=x2的定义域为R,值域为[0,+∞),故函数y=x2不是圆满函数.
2.分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系?
分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集.
[自测·
牛刀小试]
1.(教材习题改编)函数f(x)=的定义域为( )
A.[-∞,4] B.[4,+∞)
C.(-∞,4)D.(-∞,1)∪(1,4]
解析:
选D 要使函数f(x)=有意义,只需即所以函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].
2.下表表示y是x的函数,则函数的值域是( )
x
0<
x<
5
5≤x<
10
10≤x<
15
15≤x≤20
y
2
3
4
A.[2,5] B.N
C.(0,20] D.{2,3,4,5}
选D 函数值只有四个数2,3,4,5,故值域为{2,3,4,5}.
3.若f(x)=,则f(x)的定义域为( )
A.B.
C.D.(0,+∞)
选A 根据题意得log(2x+1)>0,
即0<2x+1<1,解得-<
0,即x∈.
4.(教材改编题)函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的定义域为________,值域为________.
由图象可知,函数y=f(x)的定义域为[-6,0]∪[3,7),值域为[0,+∞).
答案:
[-6,0]∪[3,7) [0,+∞)
5.(教材改编题)若有意义,则函数y=x2-6x+7的值域是________.
∵有意义,∴x-4≥0,即x≥4.
又∵y=x2-6x+7=(x-3)2-2,
∴ymin=(4-3)2-2=1-2=-1.
∴其值域为[-1,+∞).
[-1,+∞)
求函数的定义域
[例1]
(1)(2012·
山东高考)函数f(x)=+的定义域为( )
A.[-2,0)∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2]
C.[-2,2]D.(-1,2]
(2)已知函数f(x2-1)的定义域为[0,3],则函数y=f(x)的定义域为________.
[自主解答]
(1)x满足即
解得-1<
0或0<
x≤2.
(2)∵0≤x≤3,
∴0≤x2≤9,-1≤x2-1≤8.
∴函数y=f(x)的定义域为[-1,8].
[答案]
(1)B
(2)[-1,8]
本例
(2)改为f(x)的定义域为[0,3],求y=f(x2-1)的定义域.
解:
∵y=f(x)的定义域为[0,3],
∴0≤x2-1≤3,
解得-2≤x≤-1或1≤x≤2,
所以函数定义域为[-2,-1]∪[1,2].
———————————————————
简单函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)对实际问题:
由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.
(3)对抽象函数:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出.
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.
1.
(1)(2012·
江苏高考)函数f(x)=的定义域为________.
(2)已知f(x)的定义域是[-2,4],求f(x2-3x)的定义域.
(1)由1-2log6x≥0解得log6x≤⇒0<x≤,故所求定义域为(0,].
(0,]
(2)∵f(x)的定义域是[-2,4],
∴-2≤x2-3x≤4,由二次函数的图象可得,-1≤x≤1或2≤x≤4.
∴定义域为[-1,1]∪[2,4].
求函数的值域
[例2] 求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=x-;
(3)y=x+.
[自主解答]
(1)法一:
(分离常数法)y===1-.因为≠0,所以1-≠1,
即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}.
法二:
由y=得yx+y=x-3.
解得x=,所以y≠1,
即函数值域是{y|y∈R,y≠1}.
(2)法一:
(换元法)令=t,则t≥0且x=,于是y=-t=-(t+1)2+1,由于t≥0,所以y≤,故函数的值域是.
(单调性法)容易判断函数y=f(x)为增函数,而其定义域应满足1-2x≥0,即x≤.
所以y≤f=,即函数的值域是.
(3)法一:
(基本不等式法)当x>
0时,
x+≥2=4,
当且仅当x=2时“=”成立;
当x<
0时,x+=-(-x-)≤-4,
当且仅当x=-2时“=”成立.
即函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).
(导数法)f′(x)=1-=.
x∈(-∞,-2)或x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增,
当x∈(-2,0)或x∈(0,2)时,f(x)单调递减.
故x=-2时,f(x)极大值=f(-2)=-4;
x=2时,f(x)极小值=f
(2)=4.
若将本例(3)改为“y=x-”,如何求解?
易知函数y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数,故函数y=x-的值域为R.
求函数值域的基本方法
(1)观察法:
一些简单函数,通过观察法求值域.
(2)配方法:
“二次函数类”用配方法求值域.
(3)换元法:
形如y=ax+b±
(a,b,c,d均为常数,且a≠0)的函数常用换元法求值域,形如y=ax+的函数用三角函数代换求值域.
(4)分离常数法:
形如y=(a≠0)的函数可用此法求值域.
(5)单调性法:
函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.
(6)数形结合法:
画出函数的图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围.
2.求下列函数的值域.
(1)y=x2+2x,x∈[0,3];
(2)y=;
(3)y=log3x+logx3-1.
(1)(配方法)y=x2+2x=(x+1)2-1,
∵0≤x≤3,
∴1≤x+1≤4.∴1≤(x+1)2≤16.
∴0≤y≤15,
即函数y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15].
(2)y==1-,
∵x2-x+1=2+≥,
∴0<
≤,
∴-≤y<
1,即值域为.
(3)y=log3x+-1,
令log3x=t,
则y=t+-1(t≠0),
当x>
1时,t>
0,y≥2-1=1,
当且仅当t=即log3x=1,x=3时,等号成立;
当0<
1时,t<
0,
y=--1≤-2-1=-3.
当且仅当-t=-即log3x=-1,x=时,等号成立.
综上所述,函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞).
与定义域、值域有关的参数问题
[例3] 已知函数f(x)=.若至少存在一个正实数b,使得函数f(x)的定义域与值域相同,求实数a的值.
[自主解答] ①若a=0,则对于每个正数b,f(x)=的定义域和值域都是[0,+∞),故a=0满足条件;
②若a>
0,则对于正数b,f(x)=的定义域为D={x|ax2+bx≥0}=∪[0,+∞),但f(x)的值域A⊆[0,+∞),故D≠A,即a>
0不符合条件;
③若a<
0,则对于正数b,
f(x)=的定义域D=,
由于此时f(x)max=f=,
故f(x)的值域为,
则-=⇒⇒a=-4.
综上所述,a的值为0或-4.
由函数的定义域或值域求参数的方法
已知函数的值域求参数的值或取值范围问题,通常按求函数值域的方法求出其值域,然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围.
3.(2013·
温州模拟)若函数f(x)=在区间[a,b]上的值域为,则a+b=________.
∵由题意知x-1>
0,又x∈[a,b],
∴a>
1.则f(x)=在[a,b]上为减函数,
则f(a)==1且f(b)==,
∴a=2,b=4,a+b=6.
6
1种意识——定义域优先意识
函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质的基础.因此,我们一定要树立函数定义域优先的意识.
4个注意——求函数定义域应注意的问题
(1)如果没有特别说明,函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合.
(2)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化.
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
(4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
4个准则——函数表达式有意义的准则
函数表达式有意义的准则一般有:
①分式中的分母不为0;
②偶次根式的被开方数非负;
③y=x0要求x≠0;
④对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1.
6种技巧——妙求函数的值域
(1)当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的,可考虑用分离常数法;
(2)若与二次函数有关,可用配方法;
(3)若函数解析式中含有根式,可考虑用换元法或单调性法;
(4)当函数解析式结构与基本不等式有关,可考虑用基本不等式求解;
(5)分段函数宜分段求解;
(6)当函数的图象易画出时,还可借助于图象求解.
易误警示——与定义域有关的易错问题
[典例] (2013·
福州模拟)函数f(x)=-的定义域为________________.
[解析] ∵要使函数f(x)=-有意义,则∴
∴函数f(x)的定义域为{x|x≤1,且x≠-1}.
[答案] (-∞,-1)∪(-1,1]