数值分析历年考题Word格式文档下载.docx

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8.用线性多步法来求解初值问题其中，该方法的局部截断误差为___________，设其绝对稳定性空间是___________

9.用线性多步法来求解初值问题其中，希望该方法的阶尽可能高，那么______________________，此时该方法是几阶的：

10.已知上的四次legendre多项式为,求积分___________其中为常数。

第二部分：

解答题（共5题，其中1，2，5题必做，3，4选做一题）

1.（14分）已知方程组其中

（1）用迭代收敛的充要条件，分别求出是Jacobi和Gauss-seidel迭代法收敛的的取值范围，并给出这两种迭代法的渐进收敛速度比。

（2）当时，写出SOR方法迭代矩阵的表达式和SOR方法计算公式的分量形式，并取初值，求

（3）取，用迭代公式，试求使该迭代方法收敛的的最大取值范围，最优=？

2（14分）用单步法求解初值问题：

（1）求出局部截断误差以及局部截断误差主项，该方法是几阶的？

（2）求绝对稳定性区间。

（写出求解过程）

（3）用该方法解初值问题时，步长满足什么条件才能保证方法的绝对稳定性。

3（14分）已知非线性方程组，在矩形域内有解。

提示：

（1）取初值，用Newton迭代。

（2）记，并设。

试证明不动点迭代法在处具有局部收敛性。

4（14分）试构造Gauss型求积公式：

其中，权函数构造步骤如下：

（1）构造区间上权函数为的首项系数为1的二次正交多项式，求出Gauss点

（2）写出求积系数，并给出求积公式代数精确度的次数

（3）写出求积公式的余项表达式并化简

5（8分）设A为n阶非奇异阵，B是奇异阵，求证,其中为矩阵从属范数，为常数，且

第二份（2004.6）

1.给定二阶RK基本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h的要求

2.给定一个分段函数，求全函数为1区间的最佳二次平方逼近

3.给定对称正定矩阵（3*3），判断SOR收敛性（）、给定初值算一步，估计5次迭代误差

4.给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度

从0积到2

5.给定两个矩阵（均为3*3）,将A变化为三对角阵，用QR方法对算一步求

6.

（1）设B奇异，证明,其中为算子范数。

（2）证明最佳n次平方逼近函数奇偶性与相同

第三份，韩老师2002.1

1.单步法

（1）收敛阶

（2）绝对稳定区间

（3）对在时讨论数值扰动的稳定性

2.

（1）的逼近

（2）

确定，判断代数精度，是否高斯

3.给定

（1）,证明局部收敛

（2）给定，用牛顿算两步

4.含未知数

（1）求，使存在

（2）给定，用算L

（3）给定，判断是否收敛

（4）给定，SOR算一步

5.给定

（1）算p，

（2）对做QR

（3）算一步QR迭代，得到

6.,证明可逆，并证明

第四份，郑老师2006年

填空：

1.3.1425926是的几位有效数字

2.，求均差

3.公式得代数精度是几阶

4.积分系数的和是多少

5.，求

6.，求的最佳一次平方逼近，最佳一次一致逼近

7.拉格朗日插值基函数，是相异节点，求

简答：

1.高斯积分，，使代数精度最高，求

2.，用LU分解求解

3.变换成准上三角阵，用givens变换，第一种原点位移QR分解求一步，求

4.证明严格对角占优矩阵A可逆，且

除第一份是完整试卷外，其余皆为回忆版，可能有错误之处，大家凑合看，抓住要点即可。

2002年12月30晚7:

20-9:

20

B卷

一.

（1）函数f（x）=|x|在[-1,1]上积分，求在空间span{1,x2}和span{x,x^3}上权函数p（x）=1的最佳平方逼近函数，并说明 

（2）对f（x）在[-1,1]上积分,求A0,A1,A2,x0,x2, 

使得A0*f（x0）+A1*f（0）+A2*f（x2）对求积公式有最高的代数精度，并求代数精度

二. 

A=[2 

0 

1;

2 

-1;

1 

-1 

1]

（1）求householder变换矩阵P，使得A1=PAP为三对角矩阵

（2）用Givens变换，对A1进行QR分解；

（3）若用QR方法求A1特征值，迭代一步，求A2，并证明A2和A相似

三.线性二步法 

y（n+2）=y（n）+h*（fn-fn+2）

fi=f（ti,yi）

（1）求局部截断误差及主部，方法是几阶收敛

（2）用根条件判断收敛性

（3）绝对收敛域

四.A为对称正定矩阵，最大特征值和最小特征值分别是λ1和λn,

迭代X（k+1）=（I-w*A）*X（k）+w*b

求w的范围，使迭代法收敛，并求w'

使收敛速度最快。

五. 

非线性方程组

F（x）=[x1^2-10*x1+x2^2+8;

x1*x2^2+x1-10*x2+8]'

=0

令G（x）=[1/10*（x1^2+x2^2+8）

1/10*（x1*x2^2+x1+8）]

（1）若0<

x1,x2<

3/2, 

用x=G（x）迭代，证明G（x）在D中存在

唯一的不动点；

（2）判断G（x）是否收敛？

（3）写出牛顿迭代法的公式，并且取初值x0=（0.5,0.5）T,

求出x1

六. 

A，B为n*n阶矩阵，A非奇异，||A-B||<

1/||A^（-1）||

证明：

（1） 

B非奇异

（2） 

||B^（-1）|| 

<

= 

||A^（-1）||/（1-||A^（-1）||*||A-B||）

（3） 

||A^（-1）-B^（-1）|| 

||A^（-1）||^2*||A-B||/（1-||A^（-1）||*||A-B||）

1.三点高斯－勒让得积分公式

最佳平方逼近，f（x）=|x|，（-1,1）分别在span{1,x^2}和span{x,x^3}中求

2.书上P236第31题第2小问原题，只是没告诉α的范围，要你求

3.书上P257原题

加了两问，证明收敛，再算一步

4.householder变换

Givens做QR分解

5.Y（n+2）=Y（n）+h（fn+f（n+2））

求局部TE，相容，根条件，绝对稳定区间

6.定理1.12和推论，以及P167式3.4的应用

||A-B||<

1/||inv（A）||

要证B可逆,||inv（B）||<

=||inv（A）||/（1-||A-B||*||inv（A）||）

||inv（A）-inv（B）||<

=（||inv（A）||）^2*||A-B||/（1-||A-B||*||inv（A）||）

A=[1,1/2;

1/2,1/3]求||A||2和cond2（A）

J，GS迭代有关

3 

f（x）=x^2+3x+2,在－2，－1，0，1，2五点确定得拉格朗日多项式插值多项式

4 

一个稳定得算法计算一个良态得问题是否一定稳定（大致）

计算

F（x）=....

（1）证明x（k+1）=x（k）-1/4F'

（x）收敛到其解x*=[1,1,1]'

（2）用牛顿法在给定初值x0＝[...]'

下计算两步

显式和隐式欧拉法得局部截断误差和阶数，写出梯形法，及其阶数.....

A=[4,1,1;

1,1,1;

1,1,2];

b=[...]'

（1）housholder变换求A得QR变换

（2）用QR变换结果计算Ax=b

证明

已知Ax=b,A（x+deltaX）=b+deltaB

证明||deltaX||/||x||<

=cond（A）*||deltaB||/||b||

1.

（1）求f（x）=|x|,区间[-1，1]上权函数为ρ（x）=1，在span{1,x2}上的最佳平方逼

近

（2）[0，1]上权函数为ρ（x）=1，求积分公式Af（0）+Bf（x1）+Cf

（1）的参数使得代数精

度尽可能高

2。

A=[0 

4；

0；

（1）求householder变换使A1=PAP为对称三对角阵

（2）用givens变换求A1的QR分解

（3）用不带原点位移的QR算A的特征值，A1迭代一次得A2，证明A2与A1相似

3。

不动点迭代

F（x）=0，F（x）=[x1+x2^2-x1^2+x2]

等价于x=G（x），G（x）=[-x2^2 

x1^2]

（a）证明D={（x1,x2）T|-0.25<

=x1,x2<

=0.25}上，G有唯一不动点

（b）写出newton公式，取x（0）=（1,1）T，求x

（1）

4.初值问题dy/dt+y=0,y（0）=1

（a）tn=nh，用梯形法求数值解yn

（b）h趋于0时，证明数值解收敛于准确解y=exp（-t）

（c）梯形法的局部阶段误差主项

（d）梯形法的绝对稳定区域

5

（1）A为n*m矩阵，列满秩，w与ATA的特征值有什么关系时

x（k+1）=x（k）+wAT（b-Ax（k））

收敛到ATAx=ATb的唯一解

（2）B为n阶方阵，x*=Bx*+C,迭代公式x（k+1）=Bx（k）+C

若||B||<

=β<

1且||x（k）-x（k-1）||<

=ε（1-β）/β

证明||x*-x（k）||<

=ε

6.A对称正定，φ（x）=0.5xTAx-xTb,p为非零向量

定义ψ（α）=φ（x+αp）,求α为何值时ψ（α）最小

证明对此α定义下的x*=x+αp,有b-Ax*与p正交

1、给定2阶RK基本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h的要求

yn+1=yn+h/2*（k1+k2） 

k1=f（tn,yn） 

k2=f（tn+3/5*h,yn+3/5*h*k1）

2、给定一个分段函数，求全函数为1区间[0，2]的最佳二次平方逼近

3、给定对称正定矩阵（3*3），判断SOR收敛性（w=1.2）、给定初值算一步、估计5次迭代误差

4、给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度

f（x）从0积到2= 

r1*f（x1）+r2*f（x2）

5、给定两个矩阵A、A1（均为3*3），将A变化为三对角阵，用QR方法对A1算一步求A2

6、

（1）以前试题的变形,设B奇异，证明（||A-B||/||A||）〉=1/（||inv（A）||||A||），其中||为算子范数

（2）证明最佳n次平方逼近函数奇偶性与f（x）相同

5道大题，若干小题，卷面成绩满分70

1.

（1）求f（x）=sqrt（1-x^2）在span{1,x,x^2}上，权函数为rou=1/sqrt（1-x^2）的最佳平方逼近多项式

（2）求证高斯