同济第六版《高等数学》教案WORD版第07章空间解析几何与向量代数Word下载.docx
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5、点到直线以及点到平面的距离；
6、常用二次曲面的方程及其图形；
7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教学难点：
1、向量积的向量运算及坐标运算；
2、平面方程和直线方程及其求法；
3、点到直线的距离；
4、二次曲面图形；
5、旋转曲面的方程；
§
7.1向量及其线性运算
一、向量概念
向量:
在研究力学、物理学以及其他应用科学时,常会遇到这样一类量,它们既有大小,又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等,这一类量叫做向量.
在数学上,用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.
向量的符号:
以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作.向量可用粗体字母表示,也可用上加箭头书写体字母表示,例如,a、r、v、F或、、、.
自由向量:
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.相等的向量经过平移后可以完全重合.
向量的模:
向量的大小叫做向量的模.
向量a、、的模分别记为|a|、、.
单位向量:
模等于1的向量叫做单位向量.
零向量:
模等于0的向量叫做零向量,记作0或.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.
向量的平行:
两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a//b.零向量认为是与任何向量都平行.
当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线.
类似还有共面的概念.设有k（k≥3）个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面.
二、向量的线性运算
1．向量的加法
向量的加法:
设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b.
三角形法则:
上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则.
平行四边形法则:
当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.
向量的加法的运算规律:
（1）交换律a+b=b+a;
（2）结合律（a+b）+c=a+（b+c）.
由于向量的加法符合交换律与结合律,故n个向量a1,a2,⋅⋅⋅,an（n≥3）相加可写成
a1+a2+⋅⋅⋅+an,
并按向量相加的三角形法则,可得n个向量相加的法则如下:
使前一向量的终点作为次一向量的起点,相继作向量a1,a2,⋅⋅⋅,an,再以第一向量的起点为起点,最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和.
负向量:
设a为一向量,与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量,记为-a.
向量的减法:
我们规定两个向量b与a的差为
b-a=b+（-a）.
即把向量-a加到向量b上,便得b与a的差b-a.
特别地,当b=a时,有
a-a=a+（-a）=0.
显然,任给向量及点O,有
因此,若把向量a与b移到同一起点O,则从a的终点A向b的终点B所引向量便是向量b与a的差b-a.
三角不等式:
由三角形两边之和大于第三边的原理,有
|a+b|≤|a|+|b|及|a-b|≤|a|+|b|,
其中等号在b与a同向或反向时成立.
2．向量与数的乘法
向量与数的乘法的定义:
向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模|λa|=|λ||a|,它的方向当λ>
0时与a相同,当λ<
0时与a相反.
当λ=0时,|λa|=0,即λa为零向量,这时它的方向可以是任意的.
特别地,当λ=±
1时,有
1a=a,（-1）a=-a.
运算规律:
（1）结合律λ（μa）=μ（λa）=（λμ）a；
（2）分配律（λ+μ）a=λa+μa；
λ（a+b）=λa+λb.
例1.在平行四边形ABCD中,设=a,=b.
试用a和b表示向量、、、,其中M是平行四边形对角线的交点.
解由于平行四边形的对角线互相平分,所以
a+b,即-（a+b）,
于是（a+b）.
因为,所以（a+b）.
又因-a+b,所以（b-a）.
由于,所以（a-b）.
例1在平行四边形ABCD中,设,.试用a和b表
示向量、、、,其中M是平行四边形对角线的交点.
于是;
.
因为,所以;
向量的单位化:
设a≠0,则向量是与a同方向的单位向量,记为ea.
于是a=|a|ea.
于是a=|a|ea.
定理1设向量a≠0,那么,向量b平行于a的充分必要条件是:
存在唯一的实数λ,使b=λa.
证明:
条件的充分性是显然的,下面证明条件的必要性.
设b//a.取,当b与a同向时λ取正值,当b与a反向时λ取负值,即b=λa.这是因为此时b与λa同向,且
|λa|=|λ||a|.
再证明数λ的唯一性.设b=λa,又设b=μa,两式相减,便得
（λ-μ）a=0,即|λ-μ||a|=0.
因|a|≠0,故|λ-μ|=0,即λ=μ.
给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.设点O及单位向量i确定了数轴Ox,对于轴上任一点P,对应一个向量,由//i,根据定理1,必有唯一的实数x,使=xi（实数x叫做轴上有向线段的值）,并知与实数x一一对应.于是
点P↔向量=xi↔实数x,
从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系.据此,定义实数x为轴上点P的坐标.
由此可知,轴上点P的坐标为x的充分必要条件是
=xi.
三、空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k,就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴,依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）,统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系,称为Oxyz坐标系.
注:
（1）通常三个数轴应具有相同的长度单位;
（2）通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;
（3）数轴的的正向通常符合右手规则.
坐标面:
在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面.
x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面,另两个坐标面是yOz面和zOx面.
卦限:
三个坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限,它位于xOy面的上方.在xOy面的上方,按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy面的下方,与第一卦限对应的是第五卦限,按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限.八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示.
向量的坐标分解式:
任给向量r,对应有点M,使.以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体,有
设,,,
则.
上式称为向量r的坐标分解式,xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
显然,给定向量r,就确定了点M及,,三个分向量,进而确定了x、y、z三个有序数;
反之,给定三个有序数x、y、z也就确定了向量r与点M.于是点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系
据此,定义:
有序数x、y、z称为向量r（在坐标系Oxyz）中的坐标,记作r=（x,y,z）;
有序数x、y、z也称为点M（在坐标系Oxyz）的坐标,记为M（x,y,z）.
向量称为点M关于原点O的向径.上述定义表明,一个点与该点的向径有相同的坐标.记号（x,y,z）既表示点M,又表示向量.
坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.例如:
点M在yOz面上,则x=0;
同相,在zOx面上的点,y=0;
在xOy面上的点,z=0.如果点M在x轴上,则y=z=0;
同样在y轴上,有z=x=0;
在z轴上的点,有x=y=0.如果点M为原点,则x=y=z=0.
四、利用坐标作向量的线性运算
设a=（ax,ay,az）,b=（bx,by,bz）
即a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,
则a+b=（axi+ayj+azk）+（bxi+byj+bzk）
=（ax+bx）i+（ay+by）j+（az+bz）k
=（ax+bx,ay+by,az+bz）.
a-b=（axi+ayj+azk）-（bxi+byj+bzk）
=（ax-bx）i+（ay-by）j+（az-bz）k
=（ax-bx,ay-by,az-bz）.
λa=λ（axi+ayj+azk）
=（λax）i+（λay）j+（λaz）k
=（λax,λay,λaz）.
利用向量的坐标判断两个向量的平行:
设a=（ax,ay,az）≠0,b=（bx,by,bz）,向量b//a⇔b=λa,即b//a⇔（bx,by,bz）=λ（ax,ay,az）,于是.
例2求解以向量为未知元的线性方程组,
其中a=（2,1,2）,b=（-1,1,-2）.
解如同解二元一次线性方程组,可得
x=2a-3b,y=3a-5b.
以a、b的坐标表示式代入,即得
x=2（2,1,2）-3（-1,1,-2）=（7,-1,10）,
y=3（2,1,2）-5（-1,1,-2）=（11,-2,16）.
例3已知两点A（x1,y1,z1）
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