数学第六章 实数的专项培优练习题及解析.docx

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数学第六章实数的专项培优练习题及解析

数学第六章实数的专项培优练习题（及解析

一、选择题

1．对于实数，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：

，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：

．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为（）

A．B．C．D．

2．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：

A＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m、n，再取这两个数的相反数，那么，所有A的和为（　　）

A．4mB．4m+4nC．4nD．4m﹣4n

3．已知无理数－2，估计它的值（　　）

A．小于1B．大于1C．等于1D．小于0

4．下列说法正确的是（）

A．一定表示负数B．平方根等于它本身的数为0和1

C．倒数是本身的数为1D．互为相反数的绝对值相等

5．定义a＊b＝3a－b，则下列结论正确的有（）个.

①3＊2=11.

②.

③（＊）.

④若a＊b=b＊a，则a=b.

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．下面说法错误的个数是（）

①一定是负数；②若，则；③一个有理数不是整数就是分数；④一个有理数不是正数就是负数.

A．个B．个C．个D．个

7．有下列四种说法：

①数轴上有无数多个表示无理数的点；

②带根号的数不一定是无理数；

③平方根等于它本身的数为0和1；

④没有最大的正整数，但有最小的正整数；

其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

8．已知，，，，，……，根据这一规律，的个位数字是（）

A．2B．4C．8D．6

9．下列各组数的大小比较正确的是（　　）

A．﹣＞﹣B．＞C．5.3＞D．＞﹣3.1

10．已知m是整数，当|m﹣|取最小值时，m的值为（　　）

A．5B．6C．7D．8

二、填空题

11．若实数a、b满足，则=_____．

12．一个正数的平方根是和，则的值为_______．

13．按如图所示的程序计算：

若开始输入的值为，输出的值是_______．

14．若|x|＝3，y2＝4，且x＞y，则x﹣y＝_____．

15．规定：

[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：

[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x＜1时，化简[x]+（x）+[x）的结果是_____．

16．按下面的程序计算：

若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可以是________．

17．已知，则的相反数是________．

18．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求＝_____．

19．已知实数x的两个平方根分别为2a+1和3-4a，实数y的立方根为-a，则的值为______．

20．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为7，我们发现第1次输出的结果为10，第2次输出的结果为5，……，第2019次输出的结果为_____．

三、解答题

21．观察下列三行数：

（1）第①行的第n个数是_______（直接写出答案，n为正整数）

（2）第②、③行的数与第①行相对应的数分别有什么关系？

（3）取每行的第9个数，记这三个数的和为a，化简计算求值：

（5a2-13a-1）-4（4-3a+a2）

22．（概念学习）

规定：

求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n个a（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．

（初步探究）

（1）直接写出计算结果：

2③＝　　，（﹣）⑤＝　　；

（深入思考）

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

（1）试一试：

仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．

（﹣3）④＝　　；5⑥＝　　；（﹣）⑩＝　　．

（2）想一想：

将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于　　；

23．观察下列各式

﹣1×＝﹣1+

﹣＝﹣

﹣＝﹣

（1）根据以上规律可得：

﹣＝　；＝　（n≥1的正整数）．

（2）用以上规律计算：

（﹣1×）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）.

24．规定：

求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈 n次方”．

（初步探究）

（1）直接写出计算结果：

2③=___，（）⑤=___；

（2）关于除方，下列说法错误的是___

A．任何非零数的圈2次方都等于1；          

B．对于任何正整数n，1ⓝ=1；

C．3④=4③；  

D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．

（深入思考）

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

（1）试一试：

仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．

（-3）④=___； 5⑥=___；（-）⑩=___．

（2）想一想：

将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于___；

（3）算一算：

÷（−）④×（−2）⑤−（−）⑥÷

25．对于实数a,我们规定用{}表示不小于的最小整数，称{a}为a的根整数.如{}=4.

（1）计算{}=？

（2）若{m}=2,写出满足题意的m的整数值；

（3）现对a进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次{}=4,再进行第二次求根整数{}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100进行连续求根整数，次后结果为2.

26．如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．

（1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．

（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：

是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

（3）在

（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：

C

【分析】

对各选项中的数分别连续求根整数即可判断得出答案．

【详解】

解：

当x=5时，，满足条件；

当x=10时，，满足条件；

当x=15时，，满足条件；

当x=16时，，不满足条件；

∴满足条件的整数的最大值为15，

故答案为：

C．

【点睛】

本题考查了无理数估算的应用，主要考查学生的阅读能力和理解能力，解题的关键是读懂题意．

2．C

解析：

C

【分析】

根据题意得到m，n的相反数，分成三种情况⑴m，n；-m，-n⑵m，-m；n，-n⑶m，-n；n，-m分别计算，最后相加即可.

【详解】

解：

依题意，m，n（m＜n）的相反数为﹣m，﹣n，则有如下情况：

m，n为一组，﹣m，﹣n为一组，有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2n

m，﹣m为一组，n，﹣n为一组，有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0

m，﹣n为一组，n，﹣m为一组，有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m

所以，所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n

故选：

C．

【点睛】

本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.

3．A

解析：

A

【分析】

首先根据可以得出，从而进一步得出的范围即可.

【详解】

∵，

∴，

∴，

∴的值大于0，小于1.

所以答案为A选项.

【点睛】

本题主要考查了无理数的估算，熟练找出无理数的整数范围是解题关键.

4．D

解析：

D

【分析】

当m是负数时，-m表示正数；平方根等于本身的数是0；倒数等于本身的数是±1；互为相反数的绝对值相等.

【详解】

A.若m=﹣1，则﹣m=﹣（﹣1）=1，表示正数，故A选项错误；

B.平方根等于它本身的数为0，故B选项错误；

C.倒数是本身的数为1和﹣1，故C选项错误；

D.互为相反数的绝对值相等，故D选项正确；

故选D

【点睛】

本题考查了平方根、倒数以及相反数的概念，熟练掌握各个知识点是解题关键.

5．B

解析：

B

【分析】

根据新定义的运算把各式转化成混合运算进行计算，即可得出结果.

【详解】

解：

∵a＊b＝3a－b，，

∴①3＊2=3×3-2=7，故①错误；

②故②正确；

③（＊）.

故③错误；

④若a＊b=b＊a，则有3a－b=3b-a,

化简得a=b,

故④正确；

正确的有②④，

故选：

B

【点睛】

本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键.

6．C

解析：

C

【分析】

①举例说明命题错误；②举例说明命题错误；③根据有理数的概念判断即可；④根据有理数的概念判断即可.

【详解】

①当a≤0时，-a≥0，故-a一定是负数错误；

②当a=2，b=-2时，  ,但是a≠b，故②的说法错误；

③一个有理数不是整数就是分数，此选项正确；

④一个有理数不是正数就是负数还有可能是0，故④的说法错误.

所以错误的个数是3个.

故答案为C

【点睛】

本题考查了有理数的概念，熟练掌握概念是解题的关键.

7．C

解析：

C

【分析】

根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案．

【详解】

①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；

②带根号的数不一定是无理数是正确的，如：

；

③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的；

④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的．

综上，正确的个数有3个，

故选：

C．

【点睛】

本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．

8．C

解析：

C

【分析】

通过观察，，，，，…知，他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，…因为2019÷4＝504…3，所以的个位数字与的个位数字相同是8．

【详解】

解：

仔细观察，，，，，…；可以发现他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，…

∵2019÷4＝504…3，

∴的个位数字与的个位数字相同是8．

故答案是：

8．

【点睛】

本题考查了尾数特征，解题的关键是根据已知条件，找出规律：

2的乘方的个位数是每4个数一循环，2，4，8，6，…．

9．A

解析：

A

【分析】

正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【详解】

∵﹣＞﹣，

∴选项A符合题意；

∵＜，

∴